Question

【題目】在科學(xué)研究中，可以通過施加適當(dāng)?shù)碾妶龊痛艌鰜韺?shí)現(xiàn)對帶電粒子運(yùn)動(dòng)的控制．如圖所示的xOy平面處于勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中，電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t做周期性變化的圖象如圖所示．x 軸正方向?yàn)?/span>E的正方向，垂直紙面向里為B的正方向．在坐標(biāo)原點(diǎn)O有一粒子P，其質(zhì)量和電荷量分別為m和+q.不計(jì)重力．在t=時(shí)刻釋放P，它恰能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．

（1）求P在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的大小v0；

（2）求B0應(yīng)滿足的關(guān)系；

（3）在t0（0＜t0＜）時(shí)刻釋放P，求P速度為零時(shí)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2），（n=1，2，3……）

（3）.

【解析】

（1）對比題圖可知：隨著時(shí)間的變化，電場和磁場是交替產(chǎn)生的，有磁場前，粒子受到恒定的電場力，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式v=at即可求解，要注意粒子從t=才開始運(yùn)動(dòng)．（2）要求B0應(yīng)滿足的關(guān)系，首先需抓住題中的關(guān)鍵語：“恰能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動(dòng)”，從而實(shí)現(xiàn)對本題解答的切入，然后分析粒子會(huì)做τ時(shí)間的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要想往復(fù)，則2τ時(shí)刻粒子的速度方向正好沿x軸負(fù)方向．要注意粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性，洛倫茲力提供向心力等．（3）從t0滿足0＜t＜時(shí)刻釋放，粒子將會(huì)在電場力的作用下勻加速τ-t0的時(shí)間，并以速度進(jìn)入磁場，在根據(jù)對稱性，找到速度為零的時(shí)刻，再根據(jù)數(shù)學(xué)的知識(shí)找到其坐標(biāo)即可．

解：（1）～τ時(shí)間段內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，τ～2τ時(shí)間段內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

電場力F=qE0，加速度a=，速度v0=at，其中t=，解得v0=.

（2）只有當(dāng)t=2τ時(shí)，P在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)束并開始沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，才能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如圖所示．

設(shè)P在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則，（n=1，2，3……）

勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

解得，（n=1，2，3……）

（3）在t0時(shí)刻釋放，P在電場中加速時(shí)間為τ-t0，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，解得

又經(jīng)τ-t0時(shí)間P減速為零后向右加速時(shí)間為t0，P再進(jìn)入磁場，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，解得

綜上分析，速度為零時(shí)橫坐標(biāo)x=0，相應(yīng)的縱坐標(biāo)為

y=或2k（r1-r2），（k=1，2，3……）

解得y=或，（k=1，2，3……）