Question

【題目】（1）如圖1所示，固定于水平面的U形導線框處于豎直向下、磁感應強度為B0的勻強磁場中，導線框兩平行導軌間距為l，左端接一電動勢為E0、內阻不計的電源。一質量為m、電阻為r的導體棒MN垂直導線框放置并接觸良好。閉合開關S，導體棒從靜止開始運動。忽略摩擦阻力和導線框的電阻，平行軌道足夠長。請分析說明導體棒MN的運動情況，在圖2中畫出速度v隨時間t變化的示意圖；并推導證明導體棒達到的最大速度為；

（2）直流電動機是一種使用直流電流的動力裝置，是根據通電線圈在磁場中受到安培力的原理制成的。如圖3所示是一臺最簡單的直流電動機模型示意圖，固定部分（定子）裝了一對磁極，旋轉部分（轉子）裝設圓柱形鐵芯，將abcd矩形導線框固定在轉子鐵芯上，能與轉子一起繞軸OO（ 轉動。線框與鐵芯是絕緣的，線框通過換向器與直流電源連接。定子與轉子之間的空隙很小，可認為磁場沿徑向分布，線框無論轉到什么位置，它的平面都跟磁感線平行，如圖4所示（側面圖）。已知ab、cd桿的質量均為M、長度均為L，其它部分質量不計，線框總電阻為R。電源電動勢為E，內阻不計。當閉合開關S，線框由靜止開始在磁場中轉動，線框所處位置的磁感應強度大小均為B。忽略一切阻力與摩擦。

a．求：閉合開關后，線框由靜止開始到轉動速度達到穩(wěn)定的過程中，電動機產生的內能Q內；

b．當電動機接上負載后，相當于線框受到恒定的阻力，阻力不同電動機的轉動速度也不相同。求：ab、cd兩根桿的轉動速度v多大時，電動機的輸出功率P最大，并求出最大功率Pm。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a．；b．。

【解析】

試題分析：（1）（6分）閉合開關S，導體棒在安培力F=B0Il的作用下開始做加速運動，加速度；導體棒切割磁感線產生反電動勢，電流，當速度v增大，電流I減小，安培力F減小，加速度a減小，導體棒做加速度減小的加速運動；當E0 =B0lvm時，電流為零，導體棒速度達到最大，最大速度；此后棒以最大速度vm做勻速運動；v-t示意圖如圖所示。

（2）a．（7分）設在這個過程中通過桿橫截面的電量為Q，穩(wěn)定時兩桿的速度為vm′

根據能量守恒定律 穩(wěn)定時有 E = 2BLvm′

在很短的時間△t內可認為電流不變，以ab為研究對象

根據動量定理 BIL·△t = △Mv 對整個過程求和有BLQ =Mvm′ 聯(lián)立以上各式求得

b．（7分）電動機的輸出功率P =EI–I2R 求出 當時，輸出功率P最大

根據 求出 當時，輸出功率P最大

解得 最大功率