Question

14．如圖所示，長L=9m的傳送帶與水平面的傾角θ=37°，在電動機的帶動下以v=4m/s的恒定速率沿順時針方向運行，在傳送帶的B端有一離傳送帶很近的擋板P可將帶上的物塊擋住，在傳送帶的A端靜止釋放一質量m=1kg的物體，它與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5，物塊與擋板的碰撞能量損失及碰撞時間不計（g=10m/s²，sin37°=0.6），求：
（1）物塊從靜止釋放到第一次下滑到擋板P處的過程中，物塊相對傳送帶滑行的路程；
（2）物塊從靜止釋放到第一次上升至最高點的過程中，物塊相對傳送帶滑行的路程．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出物塊在下降過程和上升過程中的加速度，運用運動學公式求出下滑過程和上升過程的相對位移，求出相對運動距離之和；
（2）應用牛頓第二定律與勻變速直線運動的速度位移公式求出物塊的位移，即可求得相對運動的路程．

解答 解：物塊從A點由靜止釋放，由牛頓第二定律得：
向下運動的加速度：ma₁=mgsinθ-μmgcosθ，
代入數據解得：a₁=2m/s²，
由速度位移公式可知，與P碰前的速度為：v₁=$\sqrt{2{a}_{1}L}$=$\sqrt{2×2×9}$=6m/s，
物塊從A到B的時間為：t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{6}{2}=3s$
在此過程中物塊相對傳送帶向下位移為：s₁=L+vt₁=21m
（2）物塊與擋板碰撞后，以v₁的速率反彈，因v₁＞v，物塊相對傳送帶向上滑，
由牛頓第二定律可知，物塊向上做減速運動的加速度為a₂有：ma₂=mgsinθ+μmgcosθ，
代入數據解得：a₂=10m/s²
物塊速度減小到與傳送帶速度相等所需時間：t₂=$\frac{{v}_{1}-v}{{a}_{2}}$=$\frac{6-4}{10}$=0.2s，
物塊向上的位移：x₁=$\frac{{v}_{1}+v}{2}{t}_{1}$=$\frac{6+4}{2}×0.2$=1m，
物塊相對傳送帶向上的位移為：s₂=l₁-vt₂=0.2m
物塊速度與傳送帶速度相等后，μ＜tanθ，由牛頓第二定律可知：ma₃=mgsinθ-μmgcosθ，
代入數據解得，物塊向上做減速運動的加速度：a₃=2m/s²，
物塊速度減小到零的時間為：t₃=$\frac{v}{{a}_{3}}=\frac{4}{2}=2s$
物塊向上的位移：x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{3}}$=$\frac{{4}^{2}}{2×2}$=4m，
此過程中物塊相對傳送帶向下的位移為：s₃=vt₃-l₂=4m
相對傳送帶的位移為：s₁+s₂+s₃=21+0.2+4=25.2m；
答：（1）物塊從靜止釋放到第一次下滑到擋板P處的過程中，物塊相對傳送帶滑行的路程為21m；
（2）物塊從靜止釋放到第一次上升至最高點的過程中，物塊相對傳送帶滑行的路程為25.2m．

點評 本題為多過程多物體問題，過程較為復雜，解題的關鍵理清每一段過程，分別運用牛頓定律和運動學知識進行分析求解即可；要求思路要清晰，按步驟一步步進行即可求解．