Question

5．某校物理興趣小組遙控賽車比賽路徑如圖所示，賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動L后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，比賽要求賽車順利通過豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動到C點(diǎn)，并能越過壕溝．已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.5w工作，進(jìn)入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N，隨后在運(yùn)動中受到的阻力均可不計(jì)．圖中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m．
問：（1）要使賽車順利通過圓軌道，電動機(jī)至少工作多長時(shí)間？
（2）試分析說明賽車在恰能通過圓軌道的情況下能否順利越過壕溝（取g=10m/s² ）

Answer 1

分析 （1）通過牛頓第二定律和動能定理求出小球要越過圓軌道最高點(diǎn)在B點(diǎn)的速度，通過平拋運(yùn)動的軌道求出通過B點(diǎn)的速度，從而確定通過B點(diǎn)的最小速度，根據(jù)動能定理求出要使賽車完成比賽，電動機(jī)至少工作的時(shí)間．
（2）賽車在恰能通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求最高點(diǎn)的最小速度，再由機(jī)械能守恒求出賽車到達(dá)B點(diǎn)的速度，與上題中賽車剛好順利越過壕溝時(shí)通過B點(diǎn)的速度比較，即可作出判斷．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，小球通過最高點(diǎn)的最小速度為v₁，根據(jù) mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，得v₁=$\sqrt{gR}$
根據(jù)動能定理得，mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得賽車通過B點(diǎn)的最小速度  v_B=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.32}$=4m/s．
故為保證過最高點(diǎn)，到達(dá)B點(diǎn)的速度至少為v_B=4m/s
對于平拋運(yùn)動過程，根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt′²得，t′=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$s=0.5s
則平拋運(yùn)動初速度的最小值 v₀=$\frac{s}{t}$=$\frac{1.5}{0.5}$=3m/s．
為保證越過壕溝，到達(dá)B點(diǎn)的速度至少為v₀=3m/s
因此賽車到達(dá)B點(diǎn)的速度至少為：v=v_B=4m/s
從A到B對賽車用動能定理：Pt-fL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得t≥2.54s
（2）根據(jù)上題結(jié)果知，由于v_B＞v₀，所以賽車在恰能通過圓軌道的情況下能順利越過壕溝．
答：
（1）要使賽車完成比賽，電動機(jī)至少工作2.54s．
（2）賽車在恰能通過圓軌道的情況下能順利越過壕溝．

點(diǎn)評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律，涉及到直線運(yùn)動、圓周運(yùn)動、平拋運(yùn)動，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵要把握圓周運(yùn)動最高點(diǎn)的臨界條件：重力提供向心力，運(yùn)用運(yùn)動的分解法研究平拋運(yùn)動．