Question

【題目】如圖（a）所示，平行金屬板A和B間的距離為d，現(xiàn)在A、B板上加上如圖（b）所示的方波形電壓，t=0時(shí)A板比B板的電勢(shì)高，電壓的正向值為U0 ， 反向值也為U0 ， 現(xiàn)有由質(zhì)量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板方向OO'的速度v0= 不斷射入，所有粒子不會(huì)撞到金屬板且在AB間的飛行時(shí)間均為T，不計(jì)重力影響．試求：

（1）粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度大小及方向；
（2）粒子打出電場(chǎng)時(shí)位置離O'點(diǎn)的距離范圍；
（3）若要使打出電場(chǎng)的粒子經(jīng)某一垂直紙面的圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能到達(dá)圓形磁場(chǎng)邊界的同一個(gè)點(diǎn)，而便于再收集，則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑和相應(yīng)的磁感強(qiáng)度是多大？

Answer 1

【答案】
（1）解：飛出粒子的速度都相同，在沿電場(chǎng)線方向速度大小均為 ①

飛出速度大小為 = = ②

設(shè)速度v的方向與 的夾角為θ，則 ③

所以，方向水平方向右下角為θ=45°，大小

答：粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度大小為 ，方向水平方向右下角為θ=45°；

（2）解：當(dāng)粒子由t=nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向下側(cè)移最大，則 ④

且 ⑤

解得

當(dāng)粒子由 時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向上側(cè)移最大，

則 ⑥

解得

所以，在距離O′中點(diǎn)上方 至下方 范圍內(nèi)有粒子打出

答：粒子打出電場(chǎng)時(shí)位置離O'點(diǎn)的距離范圍，在距離O′中點(diǎn)上方 至下方 范圍內(nèi)有粒子打出；

（3）解：要使平行粒子能夠交于圓形磁場(chǎng)區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時(shí)，磁場(chǎng)直徑最小值與粒子寬度相等，

粒子寬度 = ⑦

故磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為 ⑧

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)有 ⑨

解得

答：若要使打出電場(chǎng)的粒子經(jīng)某一垂直紙面的圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能到達(dá)圓形磁場(chǎng)邊界的同一個(gè)點(diǎn)，而便于再收集，則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑 ，相應(yīng)的磁感強(qiáng)度是

【解析】（1）利用速度的合成和分解將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直于初速度方向，粒子在電場(chǎng)力的作用下做變速直線運(yùn)動(dòng)，求出兩個(gè)方向上的分速度，最后得到合速度即可；
（2）粒子在t=0、T、2T…時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，O′位置偏向最下端；粒子在t=nT+T時(shí)時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，O′位置偏向最上端，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解即可．

（3）粒子在打出粒子的速度都是相同的，由速度合成法求出粒子的速度．要使平行粒子能夠交于圓形磁場(chǎng)區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時(shí)，磁場(chǎng)直徑最小值與粒子寬度相等，即可得到磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑．粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力，可牛頓第二定律求出相應(yīng)的磁感強(qiáng)度