Question

15．距土星中心3.2×10⁵km的土星探測(cè)器上有一物體，它受到土星的引力為0.38N，己知此物體在地球上重為10N，地球半徑，6.4×10³km．
（1）請(qǐng)估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？
（2）土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng)，其中有兩個(gè)巖石顆粒A和B與土星表面高度分別為R和3R（R為土星半徑）顆粒A和B每隔時(shí)間t距離最近，且顆粒A的周期為T_A．求$\frac{t}{{T}_{A}}$的值．

Answer 1

分析 （1）在地球上和土星上物體受到的重力近似等于萬有引力，分別對(duì)物體在地球上和土星上，根據(jù)萬有引力定律公式列式，比較即可求解．
（2）根據(jù)軌道半徑之比得出A、B的周期之比，抓住經(jīng)過t時(shí)間A、B轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π，求出t與T_A的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為r₀，土星質(zhì)量為M₀，地球上物體的重力可視為萬有引力，探測(cè)器上物體質(zhì)量為m₀，在地球表面重力為G₀，距土星中心r₀′=3.2×10⁵ km處的引力為G₀′，根據(jù)萬有引力定律有：${G}_{0}=G\frac{M{m}_{0}}{{{r}_{0}}^{2}}$，${G}_{0}′=G\frac{{M}_{0}{m}_{0}}{{r}_{0}{′}^{2}}$，
解得$\frac{{M}_{0}}{M}=95$．
（2）兩個(gè)巖石顆粒A和B均繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)，A的軌道半徑為2R，B的軌道半徑為4R，
根據(jù)$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$知，A、B的軌道半徑之比為1：2，則周期之比為1：$2\sqrt{2}$，
每隔t時(shí)間相距最近，有：$（\frac{2π}{{T}_{A}}-\frac{2π}{{T}_{B}}）t=2π$，
解得$\frac{t}{{T}_{A}}$=$\frac{4}{4-\sqrt{2}}$．
答：（1）土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的95倍．
（2）$\frac{t}{{T}_{A}}$的值為$\frac{4}{4-\sqrt{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道星球表面萬有引力等于重力，以及知道周期與軌道半徑的關(guān)系，知道再次相距最近時(shí)，兩者走過的角度之差等于2π．