Question

（2009?南通模擬）如圖所示，半徑R=0.80m的

1

4

光滑圓弧軌道豎直固定，過最低點(diǎn)的半徑OC處于豎直位置．其右方有底面半徑r=0.2m的轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒頂端與C等高，下部有一小孔，距頂端h=0.8m．轉(zhuǎn)筒的軸線與圓弧軌道在同一豎直平面內(nèi)，開始時(shí)小孔也在這一平面內(nèi)的圖示位置．今讓一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊自A點(diǎn)由靜止開始下落后打在圓弧軌道上的B點(diǎn)，但未反彈，在瞬問碰撞過程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為0，而沿切線方向的分速度不變．此后，小物塊沿圓弧軌道滑下，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)觸動光電裝置，使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動起來，且小物塊最終正好進(jìn)入小孔．已知A、B到圓心O的距離均為R，與水平方向的夾角均為θ=30°，不計(jì)空氣阻力，g取l0m/s²．求：
（1）小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小 F_C；
（2）轉(zhuǎn)筒軸線距C點(diǎn)的距離L；
（3）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度ω．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)幾何關(guān)系求得碰后小球速度，從B到C得運(yùn)動過程中運(yùn)用動能定理求得到達(dá)C的速度，根據(jù)向心力公式及牛頓第三定律即可求解；
（2）小球從C點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本規(guī)律即可求解；
（3）小物塊最終正好進(jìn)入小孔，所以在小球做平拋運(yùn)動的時(shí)間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，即t=nT=n

2π

ω

（n=1，2，3…）．

解答：解：（1）小物塊由A→B的過程中，
2mgRsin30°=

1

2

mv_B²
v_B=4m/s                                               
在瞬間碰撞過程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為0，沿切線方向的分速度不變．
則碰撞后瞬間小物塊速度
v_B'=v_Bcos30°=2

3

m/s                                
小物塊由B→C的過程中根據(jù)動能定理得：
mgR（1-sin30°）=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_B'²
v_C=

20

m/s                                            
小物塊在C點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
F-mg=

vC2

R

解得：F=3.5N                                                 
所以由牛頓第三定律知，小物塊對軌道壓力的大小F_C=3.5N    
（2）小球由C到小孔做平拋運(yùn)動
h=

1

2

gt²   
解得：t=0.4s                                               
所以L=v_Ct+r=（0.8

5

+0.2）m                                    
（3）小物塊最終正好進(jìn)入小孔，所以在小球做平拋運(yùn)動的時(shí)間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，
即t=nT=n

2π

ω

（n=1，2，3…）．
解得：ω=

2nπ

t

=5nπrad/s  （n=1，2，3…）．
答：（1）小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為3.5N；
（2）轉(zhuǎn)筒軸線距C點(diǎn)的距離L為（0.8

5

+0.2）m；
（3）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度ω為5nπrad/s  （n=1，2，3…）．

點(diǎn)評：本題是圓周運(yùn)動與平拋運(yùn)動相結(jié)合的題目，考查了圓周運(yùn)動及平拋運(yùn)動的基本規(guī)律，運(yùn)動過程較為復(fù)雜，難度較大．