Question

16．如圖所示，兩根長(zhǎng)度均為l的剛性輕桿，一端通過(guò)一質(zhì)量為m的球形鉸鏈互相連接，另一端分別接質(zhì)量為m和2m的小球．將此裝置兩桿并攏，鉸鏈向上、豎直地放在桌上．輕敲一下，使球往兩邊滑，但兩桿始終保持在豎直面內(nèi)．已知摩擦可忽略．求：
（1）鉸鏈碰桌前的速度．
（2）當(dāng)兩稈夾角為 90°時(shí)，質(zhì)量為2m的小球的速度和位移．

Answer 1

分析 （1）水平方向動(dòng)量守恒，鉸鏈球與桌面相碰時(shí)，三球的水平速度同為零，只是鉸鏈球有豎直向下速度u聯(lián)合地面，根據(jù)機(jī)械能守恒即可求解；
（2）根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式，同時(shí)找出三球的關(guān)聯(lián)速度；

解答 解：（1）水平方向動(dòng)量守恒，鉸鏈球與桌面相碰時(shí)，三球的水平速度同為零，只是鉸鏈球有豎直向下速度u聯(lián)合地面，根據(jù)機(jī)械能守恒可得：
$\frac{1}{2}m{u}_{\;}^{2}=mgl$，$u=\sqrt{2gl}$
（2）如圖所示，

由水平方向動(dòng)量守恒可得
${v}_{1}^{\;}+{u}_{1}^{\;}=2{v}_{2}^{\;}$①
由機(jī)械能守恒可得
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m（{u}_{1}^{2}+{u}_{2}^{2}）+\frac{1}{2}（2m）{v}_{2}^{2}=mgl（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）$
即${v}_{1}^{2}+（{u}_{1}^{2}+{u}_{2}^{2}）+2{v}_{2}^{2}=（2-\sqrt{2}）gl$②
又由運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)
${v}_{1}^{\;}cos45°=（{u}_{1}^{\;}+{u}_{2}^{\;}）cos45°$
${v}_{2}^{\;}cos45°=（{u}_{2}^{\;}-{u}_{1}^{\;}）cos45°$
得${v}_{1}^{\;}={u}_{1}^{\;}+{u}_{2}^{\;}$，${v}_{2}^{\;}={u}_{2}^{\;}-{u}_{1}^{\;}$③
聯(lián)立①②③式可解得質(zhì)量為2m的小球速度為
${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{3}{10}（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）gl}$
由幾何關(guān)系可得質(zhì)量為2m的小球的位移為l，方向水平向右
答：（1）鉸鏈碰桌前的速度$\sqrt{2gl}$．
（2）當(dāng)兩稈夾角為 90°時(shí)，質(zhì)量為2m的小球的速度$\sqrt{\frac{3}{10}（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）gl}$和位移l．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵是明確守恒的條件和對(duì)象，同時(shí)注意個(gè)小球速度之間的關(guān)聯(lián)，有一定的難度．