Question

14．如圖所示，ABC是半徑R=m的光滑圓弧軌道，A點(diǎn)和圓弧圓心O的連線與豎直方向的夾角θ=37°，C端在圓弧軌道圓心O的正下方，現(xiàn)在某一位置水平拋出一個(gè)質(zhì)量m=2kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），并恰好從軌道的上端A點(diǎn)以速度v_A=4m/s沿圓弧切線進(jìn)入軌道，從軌道末端C點(diǎn)滑上了與它等高的足夠長的木板，小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，水平面光滑且右邊有豎直的擋板P，擋板P與C間的距離足夠遠(yuǎn)，設(shè)長木板與擋板P碰撞無機(jī)械能損失，長木板的質(zhì)量M=1kg．（g取10m/s²），試求：
（1）小物塊的拋出點(diǎn)到O的豎直距離．
（2）小物塊經(jīng)過圓弧軌道上A點(diǎn)的正下方B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的大小．
（3）從小物塊滑上長木板到長木板第三次與擋板P碰撞前小物塊變速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和小物塊距長木板左端的距離．

Answer 1

分析 （1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得出拋出點(diǎn)距O點(diǎn)的距離；
（2）由機(jī)械能守恒定律可求得小球到達(dá)C點(diǎn)的速度，再由向心力公式可求得壓力；
（3）物體在木板上運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求得加速度，再分析兩物體的運(yùn)動(dòng)過程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可分析小物體變速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及小物體距長木板左端的距離．

解答 解：（1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，小球達(dá)到A點(diǎn)時(shí)的豎直分速度：
v_y=vsin37°=4×0.6=2.4m/s；
則由v_y²=2gH可得：
拋出點(diǎn)到A點(diǎn)的距離：H=$\frac{2．{4}^{2}}{2×10}$=0.288m；
故拋出點(diǎn)到O點(diǎn)距離：
H′=0.288+$\frac{1}{4}$×0.8=0.488m；
（2）由AC過程由機(jī)械能守恒定律可得：
mg（R+Rcos37°）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_A²
由牛頓第二定律可知：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得：v_c=5m/s，F(xiàn)_N=220N；
（3）由牛頓第二定律可知，物體的加速度a₁=μg=0.5×10=5m/s²；
木板的加速度a₂=$\frac{μmg}{M}$=10m/s²；
物體滑到木板上后，物體做減速運(yùn)動(dòng)，木板做加速運(yùn)動(dòng)，
設(shè)經(jīng)時(shí)間t達(dá)到相對速度，則有：v_C-a₁t=a₂t，解得：t₁=s；
因距離足夠長，故碰前達(dá)共同速度，共同速度v₂=a₂t=10×$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$m/s；
此時(shí)二者之間的相對位移△x₁=$\frac{5+\frac{10}{3}}{2}$×$\frac{1}{3}$-$\frac{\frac{10}{3}}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{15}{18}$m；
碰后，二者速度反向，木板以$\frac{10}{3}$m/s的速度向左運(yùn)動(dòng)，物體向右運(yùn)動(dòng)；
設(shè)經(jīng)時(shí)間t₂木板靜止，則有：t₂=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{\frac{10}{3}}{10}$=$\frac{1}{3}$s；
木板向左運(yùn)動(dòng)的位移x=$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{1}{9}$=$\frac{5}{9}$m；
此時(shí)物體的速度v₃=v₂-a₁t₂=$\frac{10}{3}$-$\frac{5}{3}$=$\frac{5}{3}$m/s；
此物塊向右的位移
x_木2=$\frac{\frac{10}{3}+\frac{5}{3}}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$m；
物體向右增加的位移△x₂=$\frac{5}{6}$+$\frac{5}{9}$=$\frac{75}{54}$m；
木板再向右加速，達(dá)到相同速度用時(shí)t₃=$\frac{1}{9}$s；此時(shí)沒有相碰；
共同速度v₄=a₂t₃=10×$\frac{1}{9}$=$\frac{10}{9}$m/s；
物體向右運(yùn)動(dòng)的位移△x₃=$\frac{（\frac{5}{3}+\frac{10}{9}）×\frac{1}{9}}{2}$-$\frac{\frac{10}{9}}{2}$×$\frac{1}{9}$=$\frac{20}{81}$m；
故第3次碰撞前用時(shí)t=t₁+t₂+t₃=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{7}{9}$s；
物體相對木板的位移△x=△x₁+△x₂+△x₃₌$\frac{15}{18}$+$\frac{75}{54}$+$\frac{20}{81}$=$\frac{1200}{486}$≈2.5m；
答：（1）小物塊的拋出點(diǎn)到O的豎直距離為0.488m；
（2）小物塊經(jīng)過圓弧軌道上A點(diǎn)的正下方B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的大小為220N；
（3）從小物塊滑上長木板到長木板第三次與擋板P碰撞前小物塊變速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{7}{9}$s；小物塊距長木板左端的距離為2.5m．

點(diǎn)評 本題考查運(yùn)動(dòng)學(xué)公式及牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)等的綜合應(yīng)用；內(nèi)容本身難度不大，但最后的過程非常復(fù)雜，要細(xì)心分析，耐心解答．