Question

【題目】如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小球拴在長(zhǎng)為L=1m的細(xì)線上做成一個(gè)單擺，把小球從平衡位置O拉至A，使細(xì)線與豎直方向成θ=37度角，然后輕輕釋放，不計(jì)一切阻力，如果從開(kāi)始到第一次運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為0.2s, 求：

（1）釋放后小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)正下方時(shí)的速度大小？此過(guò)程中細(xì)線的拉力對(duì)小球的沖量大小是多少？

（2）若在懸點(diǎn)O′的正下方有一顆釘子P，釘子位置離懸點(diǎn)O’點(diǎn)的距離為h，則h在什么范圍內(nèi)才能使小球繞釘子來(lái)回?cái)[動(dòng)?

（3） h滿(mǎn)足什么條件可使小球繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

【答案】（1）2m/s，4N.s（2）0≤h≤0.8m（3）0.92m≤h′≤1.0m

【解析】

釋放后小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)正下方，由機(jī)械能都守恒求出小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)正下方時(shí)的速度大小，根據(jù)動(dòng)量定理可得細(xì)線的拉力對(duì)小球的沖量大小；小球繞釘來(lái)回?cái)[動(dòng)時(shí)，只能擺到跟開(kāi)始位置A等高的地方，釘子P的位置范圍只能在過(guò)A點(diǎn)的水平線與豎直線OO′的交點(diǎn)上方；小球繞釘子恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出小球通過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度，再由機(jī)械能守恒定律列式求出h，從而得到h的范圍；

解：(1)釋放后小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)正下方，小球的機(jī)械能都守恒，則有：

解得：

根據(jù)動(dòng)量定理可得：

細(xì)線的拉力對(duì)小球的沖量大小：

(2)小球繞釘來(lái)回?cái)[動(dòng)時(shí)，只能擺到跟開(kāi)始位置A等高的地方，釘子P的位置范圍只能在過(guò)A點(diǎn)的水平線與豎直線OO′的交點(diǎn)上方(如圖a)，即釘子離懸點(diǎn)O′的距離h應(yīng)滿(mǎn)足條件，即

(3)設(shè)釘子在位置時(shí)剛好使小球能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)，圓半徑，設(shè)小球在最高點(diǎn)C的速度為vC，并規(guī)定最低處為重力勢(shì)能的零位置(如圖b)，由A、C兩位置時(shí)的機(jī)械能守恒，即

剛好能越過(guò)C點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，即

解得：

所以釘子離懸點(diǎn)的距離

所以，能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)釘子離懸點(diǎn)的距離離應(yīng)滿(mǎn)足條件：