Question

19．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，第I象限存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，第IV象限內(nèi)存在垂直于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)磁場．一質(zhì)量為m的電子（電量為e，不計(jì)重力），從y軸正半軸上y=h處的M點(diǎn)，以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$h處的P點(diǎn)進(jìn)入第IV象限的磁場后經(jīng)過y軸的Q點(diǎn)，已知 OQ=OP．
（1）求勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E；
（2）求粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)速度大小和方向；
（3）求B的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移和豎直位移均已知，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法可求出場強(qiáng)大小E．
（2）由速度的合成法求出電子進(jìn)入第IV象限磁場時(shí)的速度大小和方向，由幾何知識(shí)確定粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的方向．電子在磁場中速度的大小不變．
（3）由幾何知識(shí)分別求出電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，由半徑公式即可求出B．由左手定則判斷B的方向．

解答 解：（1）電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)
$x={v}_{0}t=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$，
h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
根據(jù)牛頓第二定律得，eE=ma，
解得：E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2eh}$．
（2）畫出電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，
${v}_{y}=at=\sqrt{3}{v}_{0}$，
根據(jù)平行四邊形定則知，v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=2{v}_{0}$
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\sqrt{3}$
解得：θ=60°    
因?yàn)椤螼PO₁=30°     又  OQ=OP
由幾何關(guān)系得∠OQO₁=∠OPO₁=30°
粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)速度方向與y軸正方向成60°  
（3）由幾何關(guān)系得：$rcos30°+rsin30°=OP=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$，
解得$r=（2-\frac{2\sqrt{3}}{3}）h$
由牛頓第二定律得：$evB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{（3+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2eh}$，根據(jù)左手定則知，磁場的方向垂直紙面向里．
答：（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2eh}$；
（2）粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)速度大小為2v₀，速度方向與y軸正方向成60°．
（3）B的大小為$\frac{（3+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2eh}$，方向垂直紙面向里．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在電場和磁場中運(yùn)動(dòng)的問題，畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求出電子的軌跡半徑是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要抓住幾個(gè)過程之間的聯(lián)系，比如速度關(guān)系、位移關(guān)系等．