Question

17．如圖所示是建筑工地上常用的一種“深穴打夯機”，電動機帶動兩個滾輪勻速轉(zhuǎn)動，夯桿在滾輪摩擦力作用下，在深坑中被提上來，當夯桿底端剛到達坑口時，兩個滾輪彼此分開，將夯桿釋放；最后，夯桿在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底，夯桿不反彈，設(shè)夯桿與坑底的接觸時間為t=1.0s，然后兩個滾輪再次壓緊，將夯桿提上來，如此周而復始．已知兩個滾輪邊緣的轉(zhuǎn)動的速度恒為v=4.0m/s，每個滾輪對夯桿的壓力均為F=2.0×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數(shù)μ=0.30，夯桿質(zhì)量m=1.0×10³kg，坑深h=6.4m．假定在打夯的過程中坑的深度不變，g=10m/s²，求：
（1）夯桿開始向上運動的加速階段，夯桿運動的加速度和運動的距離；
（2）每個打夯周期（從夯桿剛離開坑底到下一次夯桿剛離開坑底的時間）中，電動機對夯桿做的功W；
（3）打夯周期T．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓運動定律和運動學公式求解；
（2）電動機對夯桿做功，轉(zhuǎn)化為夯桿的動能與重力勢能，求出夯桿動能與勢能的增加量即可求出電動機對夯桿做的功；
（3）夯桿的運動過程包括：勻加速上升、勻速上升、豎直上拋、自由落體．求出整個過程的時間，即為打夯周期．

解答 解：（1）加速階段，夯桿受力如圖：
對夯桿：$a=\frac{2μ{F}_{N}-mg}{m}=\frac{0.30×2.0×1{0}^{4}-1.0×1{0}^{3}}{1.0×1{0}^{3}}$m/s²=2m/s²
勻加速上升的高度：${h}_{1}=\frac{{4}^{2}}{2×2}m=4m$
（2）夯桿勻加速上升階段：${W}_{1}=2×0.30×2.0×1{0}^{4}×4J=4.8×1{0}^{4}J$
勻速上升階段：h₂=6.4-4=2.4m
2f_靜=mg
${W}_{2}=mg{h}_{2}=1.0×1{0}^{3}×10×2.4J=2.4×1{0}^{4}J$
每個周期中：$W={W}_{1}+{W}_{2}=4.8×1{0}^{4}+2.4×1{0}^{4}J=7.2×$10⁴J
（3）夯桿勻加速階段時間${t_1}=\frac{v}{a}=\frac{4}{2}=2s$
勻速上升時間${t}_{2}=\frac{{h}_{2}}{v}=0.6s$
夯桿從坑口做豎直上拋運動：$-h=v{t}_{3}-\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得t₃=1.6s
與坑底接觸的時間為：t₄=1s
打夯周期為：T=t₁+t₂+t₃+t₄=5.2s
答：（1）夯桿開始向上運動的加速階段，夯桿運動的加速度為2m/s²和運動的距離為4m；
（2）每個打夯周期（從夯桿剛離開坑底到下一次夯桿剛離開坑底的時間）中，電動機對夯桿做的功W為7.2×10⁴J；
（3）打夯周期T為5.2s．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清夯桿的運動過程，知道夯桿在一個周期內(nèi)先做勻加速上升，再做勻速上升，最后勻減速上升到零，做自由落體到坑底．