Question

15．如圖所示，光滑固定斜面傾角為θ=37°，斜面上有兩個(gè)完全相同的正方形線框P、Q用細(xì)線連接，P通過(guò)平行于斜面的細(xì)線繞過(guò)斜面頂端的定滑輪與一重物相連接，開(kāi)始重物固定，線框處于靜止，斜面上水平虛線MN上方有垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，線框的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，線框間連線長(zhǎng)及P線框最上邊到MN的距離也為L(zhǎng)，釋放重物，使重物帶動(dòng)線框沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)線框的質(zhì)量均為m，每個(gè)線框的電阻均為R，重物的質(zhì)量為2m，虛線上方的斜面足夠長(zhǎng)，重物離地面足夠高，線框運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，上邊始終與MN平行，重力加速度為g，當(dāng)線框P剛好要完全進(jìn)入磁場(chǎng)的一瞬間，重物的加速度為零，求：
（1）線框P上邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，重物的加速度多大？
（2）當(dāng)線框P進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，線框P中通過(guò)截面的電量及線框P中產(chǎn)生的焦耳熱分別為多大？
（3）如果線框Q進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程所用的時(shí)間為t，則線框Q剛好完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒求出線框P上邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、安培力公式和歐姆定律求出安培力，分別隔分析，運(yùn)用牛頓第二定律求出重物的加速度．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律和電量的公式求出當(dāng)線框P進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，線框P中通過(guò)截面的電量；抓住線框P剛完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度為零，根據(jù)平衡求出速度，對(duì)系統(tǒng)，運(yùn)用能量守恒求出產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）根據(jù)能量守恒求出線框Q剛進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，然后根據(jù)牛頓第二定律，運(yùn)用微分思想求出線框Q剛好完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．

解答 解：（1）線框P上邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒有：
$2mgL-2mgLsinθ=\frac{1}{2}×4m{{v}_{1}}^{2}$，
對(duì)重物，根據(jù)牛頓第二定律有：
2mg-T=2ma，
對(duì)于兩個(gè)線框，有：T-2mgsinθ-F_安=2ma，
對(duì)于P線框回路：E=BLv₁，$I=\frac{E}{R}$，
P線框所受的安培力F_安=BIL，
聯(lián)立解得a=$\frac{g}{5}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}\sqrt{\frac{2}{5}gL}$．
（2）在線框P進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，由q=$\overline{I}△t$，$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$，$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$得：q=$\frac{△Φ}{R}=\frac{B{L}^{2}}{R}$，
當(dāng)線框P剛要完全進(jìn)入磁場(chǎng)的一瞬間，重物的加速度為零，則有：
$2mg×2L-2mg×2Lsinθ=\frac{1}{2}×4m{{v}_{2}}^{2}+$Q₁，
$2mg=2mgsinθ+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$，
解得：Q₁=$\frac{8}{5}mgL-\frac{32{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}$．
（3）設(shè)線框Q剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₃，剛好完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₄，則：
2mg×3L-2mg×3Lsinθ=$\frac{1}{2}×4m{{v}_{3}}^{2}+{Q}_{1}$，
線圈Q進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，$2mg-2mgsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=4ma$，
$0.8mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=4m\frac{△v}{△t}$，
$0.8mg∑△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}∑v△t=4m∑△v$，即$0.8mgt-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}=4m（{v}_{4}-{v}_{3}）$，
聯(lián)立解得v₄=$0.2gt-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}+\sqrt{\frac{2}{5}gL+\frac{16{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}}$．
答：（1）線框P上邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，重物的加速度為$\frac{g}{5}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}\sqrt{\frac{2}{5}gL}$；
（2）當(dāng)線框P進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，線框P中通過(guò)截面的電量為$\frac{B{L}^{2}}{R}$，線框P中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{8}{5}mgL-\frac{32{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）如果線框Q進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程所用的時(shí)間為t，則線框Q剛好完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為$0.2gt-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{4mR}+\sqrt{\frac{2}{5}gL+\frac{16{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{L}^{4}}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，要正確分析線框的受力情況，利用安培力的表達(dá)式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$求線框的速度是關(guān)鍵．本題物體較多，還要靈活選擇研究對(duì)象．