Question

如圖所示，兩個(gè)相同的質(zhì)量m=0.2kg的小球用長L=0.22m的細(xì)繩連接，放在傾角為30°的光滑斜面上．初始時(shí)刻，細(xì)繩拉直，且繩與斜面底邊平行．在繩的中點(diǎn)作用一個(gè)垂直于繩沿斜面向上的恒力F=2.2N．在F的作用下兩小球向上運(yùn)動(dòng)，小球沿F方向的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為s=kt²（k為恒量）．經(jīng)過一段時(shí)間兩個(gè)小球第一次碰撞，又經(jīng)過一段時(shí)間再一次發(fā)生碰撞…．由于兩小球之間有粘性，每一次碰撞后，小球垂直于F方向的速度將損失0.3m/s．當(dāng)力F作用了2s時(shí)，兩小球發(fā)生最后一次碰撞，且不再分開．取g=10m/s²，求：
（1）最后一次碰撞后，小球的加速度
（2）最后一次碰撞后瞬間，小球的速度
（3）整個(gè)碰撞過程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能
（4）兩小球相碰的總次數(shù)．

Answer 1

分析：（1）小球發(fā)生最后一次碰撞，不再分開，加速度相同，將兩個(gè)小球看成整體，根據(jù)牛頓第二定律求加速度a．
（2）最后一次碰撞結(jié)束時(shí)，兩小球粘合成一個(gè)整體，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解最后一次碰撞結(jié)束時(shí)小球的速度；
（3）整個(gè)碰撞過程中，F(xiàn)做功為F（

L

2

+

1

2

at2），轉(zhuǎn)化為兩小球的動(dòng)能和內(nèi)能，根據(jù)功能關(guān)系列式求解；
（4）根據(jù)功能關(guān)系求第一次碰撞前，兩球在水平、豎直兩個(gè)方向的分速度v_x和v_y．根據(jù)條件：每一次碰撞后，小球垂直于F方向的速度將減小0.55m/s，即可求出碰撞的次數(shù)．

解答：解：（1）對(duì)兩小球組成的整體分析，由牛頓第二定律有 a=

F-2mgsin30°

2m

=0.5m/s2…①
（2）∵小球沿F方向的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為S=kt²（k為恒量）
∴是勻加速運(yùn)動(dòng)v_t=at=0.5×2m/s=1m/s…②
（3）根據(jù)功能原理：△E=F(s+

L

2

)-2mgSin30°?s+

1

2

?2mvt2…③
F(

1

2

at2+

L

2

)-2mSin30°?

1

2

at2+

1

2

?2mvt2=0.242J
（4）假設(shè)在拉力作用的前2s內(nèi)兩球未發(fā)生碰撞，在2s時(shí)，小球沿F方向的分速度為v_x，垂直于F方向的分速度為v_y
根據(jù)動(dòng)能定理：F(s+

L

2

)=2mgSin30°?s+

1

2

?2mvx2+

1

2

?2mvy2…④
  v_x=at…⑤
  s=

1

2

at2…⑥
解④、⑤、⑥得：v_y=1.1m/s
∵每次碰撞后小球垂直于F方向的速度將損失0.3m/s
∴n=

1.1

0.3

=3.67（次）≈4次  
答：
（1）最后一次碰撞后，小球的加速度為0.5m/s²．
（2）最后一次碰撞后瞬間，小球的速度是1m/s．
（3）整個(gè)碰撞過程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能是0.242J．
（4）兩小球相碰的總次數(shù)是4次．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵采用整體法求水平方向的加速度，運(yùn)用功能關(guān)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求碰前兩個(gè)球的分速度．