Question

5．月球自轉(zhuǎn)周期T與它繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期相同，假如“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星在近月軌道（軌道半徑近似為月球半徑）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₀，如圖所示，PQ為月球直徑，某時(shí)刻Q點(diǎn)離地面O最近，且P、Q、O共線，月球表面的重力加速度為g₀，萬(wàn)有引力常量為G，則（　�。�

• A． 月球的密度為ρ=$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• B． 月球的第一宇宙速度$v=\frac{{{g_0}{T_0}}}{2π}$
• C． 從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)$\frac{T}{2}$，P點(diǎn)離地心O是最近的
• D． 要使“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星在月球的背面P點(diǎn)著陸，需提前加速

Answer 1

分析 根據(jù)重力提供向心力求出月球半徑的表達(dá)式，結(jié)合萬(wàn)有引力等于向心力求出月球的質(zhì)量，根據(jù)密度公式求地球密度；根據(jù)重力提供向心力求出月球的第一宇宙速度．抓住月球自轉(zhuǎn)周期T與它繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期相同，再經(jīng) $\frac{T}{2}$時(shí)，P點(diǎn)離地心O是最近還是最遠(yuǎn)．

解答 解：A、月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期為T，設(shè)軌道半徑為r，地球半徑為R，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得地球質(zhì)量為：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，地球的體積為：$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，月球的密度為：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，其中月球的軌道半徑與地球半徑不相等，所以$ρ≠\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)mg₀=mR $\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$得月球的半徑為：R=$\frac{{g}_{0}^{\;}{T}_{0}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}$，根據(jù)$m{g}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$得月球的第一宇宙速度為：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{{g}_{0}^{\;}R}$=$\frac{{g}_{0}^{\;}{T}_{0}^{\;}}{2π}$，故B正確．
C、月球自轉(zhuǎn)周期T與它繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期相同，再經(jīng)$\frac{T}{2}$時(shí)，P點(diǎn)離地心O最遠(yuǎn)，故C錯(cuò)誤．
D、要使“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星在月球的背面P點(diǎn)著陸，需減速，使得萬(wàn)有引力大于向心力，做近心運(yùn)動(dòng)．故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力、萬(wàn)有引力提供向心力這兩個(gè)重要理論，并能靈活運(yùn)用，知道月球自轉(zhuǎn)周期T與它繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期相同，月球公轉(zhuǎn)半圈，自轉(zhuǎn)半圈．