Question

19．一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ=30°．一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著質(zhì)量為m的物體（物體可看做質(zhì)點(diǎn)），物體以角速度ω繞圓錐體的軸線作水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{3L}}$時(shí)，求繩的拉力T₁；
（2）當(dāng)ω₂=$\sqrt{2\frac{g}{L}}$時(shí)，求繩的拉力T₂．

Answer 1

分析 求出物體剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界角速度．當(dāng)角速度大于臨界角速度，則物體離開(kāi)錐面，當(dāng)角速度小于臨界角速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：當(dāng)物體剛離開(kāi)錐面時(shí)：Tcosθ-mg=0，
由拉力與重力的合力提供向心力，則有：$mgtanθ=m{ω_o}^2lsinθ$
解之得：${ω_0}=\sqrt{\frac{{2\sqrt{3}g}}{3l}}$①
（1）當(dāng)小球以角速度₁=$\sqrt{\frac{2g}{3l}}$＜ω₀時(shí)，則存在球受到斜面的支持力，因此由支持力、重力與拉力的合力提供向心力．
對(duì)球受力分析，如圖所示，則有
${T}_{1}sinθ-Ncosθ=m{ω}_{1}^{2}lsinθ$②
T₁cosθ+Nsinθ=mg   ③
由②③聯(lián)式解之得：${T}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}mg+\frac{1}{6}mg$
（2）當(dāng)小球以角速度ω₂=$\sqrt{2\frac{g}{L}}$＞ω₀時(shí)，則球只由重力與拉力的合力提供向心力，且細(xì)繩與豎直方向夾角已增大．
如圖所示，則有${T}_{2}sinα=m{ω}_{2}^{2}lsinα$   ④
T₂cosα=mg   ⑤
由④⑤聯(lián)式解得：T₂=2mg
答：（1）當(dāng)ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{3L}}$時(shí)，繩的拉力為$\frac{\sqrt{3}}{2}mg+\frac{1}{6}mg$；
（2）當(dāng)ω₂=$\sqrt{2\frac{g}{L}}$時(shí)，繩的拉力為2mg．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．