Question

如圖甲所示，兩個(gè)幾何形狀完全相同的平行板電容器PQ和MN，水平置于水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中（磁場(chǎng)區(qū)域足夠大），兩電容器極板的左端和右端分別在同一豎直線上，已知P、Q之間和M、N之間的距離都是d，極板本身的厚度不計(jì)，板間電壓都是U，兩電容器的極板長(zhǎng)相等．今有一電子從極板PQ中軸線左邊緣的O點(diǎn)，以速度v₀沿其中軸線進(jìn)入電容器，并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此后經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)又沿水平方向進(jìn)入到電容器MN之間，且沿MN的中軸線做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)又通過(guò)O點(diǎn)沿水平方向進(jìn)入電容器PQ之間，如此循環(huán)往復(fù)．已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e．不計(jì)電容之外的電場(chǎng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響．
（1）試分析極板P、Q、M、N各帶什么電荷？
（2）求Q板和M板間的距離x；
（3）若只保留電容器右側(cè)區(qū)域的磁場(chǎng)，如圖乙所示．電子仍從PQ極板中軸線左邊緣的O點(diǎn)，以速度v₀沿原方向進(jìn)入電容器，已知電容器極板長(zhǎng)均為

md2 v 2 0 4eU

．則電子進(jìn)入電容器MN時(shí)距MN中心線的距離？要讓電子通過(guò)電容器MN后又能回到O點(diǎn)，還需在電容器左側(cè)區(qū)域加一個(gè)怎樣的勻強(qiáng)磁場(chǎng)？

Answer 1

分析：（1）由電子的受洛侖茲力方向可判斷受電場(chǎng)力的方向，從而判斷出兩極板帶電情況；
（2）電子在混合場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由共點(diǎn)力的平衡條件及洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得Q板和M板間的距離；
（3）分析電子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，及偏轉(zhuǎn)位移，則要使電子回到O點(diǎn)，則由幾何關(guān)系可知所加磁場(chǎng)的大小及方向．

解答：解：（1）電子受磁場(chǎng)力向下，則受電場(chǎng)力向上，所以P板帶正電，Q板帶負(fù)電
同理可知，M板帶負(fù)電，N板帶正電                                
（2）電子在電容器中由平衡條件有：evB=

eU

d

電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則：evB=m

v2

R

Q板和M板間的距離，應(yīng)滿足：x=2R-d=

2dm v 2 0

eU

-d
（3）電子離開(kāi)電容器P、Q時(shí)的側(cè)移量為：y=

1

2

at2=

eU

2md

(

l

v0

)2=

d

8

evB=m

v2

r

，vcosθ=v₀，h=2rcosθ=2R
電子進(jìn)入電容器M、N之間的位置在中軸線以上y處．
電子進(jìn)入電容器M、N后，在電場(chǎng)力作用下作類拋體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可知，電子在豎直方向上的位移為y，離開(kāi)電容器M、N的位置在中軸線以上2y處，速度大小為v₀，方向與中軸線平行2r′=2R-

d

4

=

2dm v 2 0

eU

-

d

4

ev0B′=m

v02

r′

，B′=

8mv0U

8dm v 2 0 -edU

方向垂直于紙面向里（水平）

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在混合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意在混合場(chǎng)中的平衡及磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)的解決辦法．