Question

5．如圖所示，軌道由斜直軌道、凹形圓弧軌道和半徑R=2.0m的圓弧管道（內(nèi)徑不計(jì)）組成，三部分軌道均光滑處于同一豎直平面內(nèi)，且依次平滑連接，A 點(diǎn)為凹形圓弧軌道的最低點(diǎn)，B點(diǎn)為圓弧管道的最高點(diǎn)，圓弧管道的圓心O點(diǎn)與A點(diǎn)處在同一水平面上．一質(zhì)量m=0.10kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從斜直軌道上的P點(diǎn)無(wú)初速滑下，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)距A點(diǎn)所在水平面的高度h=2.5m，不計(jì)一切阻力，g=9.8m/s²．
（1）小球滑到A點(diǎn)時(shí)，小球的速度為多大？
（2）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，軌道受到的作用力大小和方向？
（3）若僅改變圓弧管道半徑R，試寫(xiě)出小球從B點(diǎn)射出的水平距離S表達(dá)式（用符號(hào)R、h表示）．并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）小球由P無(wú)初速的滑到A點(diǎn)過(guò)程中，只有重力做功，由機(jī)械能守恒列式求解；
（2）小球由P滑到B點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒和牛頓運(yùn)動(dòng)定律列式求解；
（3）若R＞h，小球不能到達(dá)B點(diǎn)，故S=0；若R≤h，小球到達(dá)B點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解．

解答 解：（1）小球由P無(wú)初速的滑到A點(diǎn)過(guò)程中，只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²…①
解得：$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×9.8×2.5}m/s=7m/s$
（2）小球由P滑到B點(diǎn)過(guò)程，機(jī)械能守恒：
mg（h-R））=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$…②
假設(shè)小球在B點(diǎn)受向下壓力，其受力如右圖，由牛頓第二定律有：
$mg+F=m\frac{v_B^2}{R}$…③
②③式聯(lián)立，得：F=-0.49N           
負(fù)號(hào)表示小球受到的軌道作用力方向與圖示方向相反，豎直向上．根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)︓壍赖淖饔昧?=0.49N，向豎直向下
（3）
i）若R＞h，小球不能到達(dá)B點(diǎn)，故   S=0      
ii）若R≤h，小球到達(dá)B點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)，有：
R=$\frac{1}{2}$gt²…④
S=v_Bt  …⑤
②④⑤式聯(lián)立，得：$S=2\sqrt{R（h-R）}$…⑥
所以：$S=\left\{\begin{array}{l}0（R＞h）\\ 2\sqrt{R（h-R）}（R≤h）\end{array}\right\}$…⑦
由⑥式，當(dāng)R=h-R，即R=$\frac{1}{2}$h時(shí)，S取最大值S_max
代入數(shù)據(jù)得：S_max=h=2.5m              
答：（1）小球滑到A點(diǎn)時(shí)，小球的速度為7m/s；
（2）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，軌道受到的作用力大小為0.49N，方向?yàn)樨Q直向下；
（3）若僅改變圓弧管道半徑R，小球從B點(diǎn)射出的水平距離S表達(dá)式：$S=\left\{\begin{array}{l}0（R＞h）\\ 2\sqrt{R（h-R）}（R≤h）\end{array}\right\}$，S的最大值為2.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)從P到A或P到B過(guò)程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，同時(shí)根據(jù)支持力和重力的合力提供向心力列式求解，題目較難，尤其是最后一問(wèn)要注意分情況討論．