Question

3．如圖所示，繃緊的傳送帶．始終以2m/s的速度勻速斜向上運行，傳送帶與水平方向間的夾角θ=30°，現(xiàn)把質(zhì)量為10kg的工件輕輕地放在傳送帶底端P，由傳送帶傳送至頂端Q，已知PQ之間的距離為4m，工作與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，取g=10m/s²．
（1）求工件在傳送帶上運動的平均速度．
（2）若傳送帶與水平方向的夾角為60°，轉(zhuǎn)動方向反向，速度大小不變，把工件放在Q處，求工件在傳送帶上運動時，相對于傳送帶滑行的位移．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出工件在傳送帶上勻加速直線運動的加速度，根據(jù)速度時間公式求出速度達到傳送帶速度經(jīng)歷的時間，根據(jù)速度位移公式求出勻加速直線運動的位移，從而得出勻速運動的位移，求出勻速運動的時間，結(jié)合總位移和總時間，求出工件在傳送帶上運動的平均速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出勻加速直線運動的加速度，根據(jù)運動學公式求出速度相等時，兩者的相對位移大小，再根據(jù)運動學公式求出物塊與傳送帶速度相等到滑到底端時的相對位移大小，從而得出全程相對傳送帶滑行的距離．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，勻加速直線運動的加速度a=$\frac{μmgcos30°-mgsin30°}{m}$=μgcos30°-gsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}-10×\frac{1}{2}$=2.5m/s²．
則工件勻加速直線運動的時間${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{2}{2.5}s=0.8s$，勻加速直線運動的位移${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{4}{2×2.5}m=0.8m$，
勻速運動的時間${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{v}=\frac{4-0.8}{2}s=1.6s$，
則工件在傳送帶上運動的平均速度$\overline{v}=\frac{L}{{t}_{1}+{t}_{2}}=\frac{4}{0.8+1.6}m/s≈$1.67m/s．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得，物塊向下做勻加速直線運動的加速度${a}_{1}=\frac{mgsin60°+μmgcos60°}{m}$=$gsin60°+μgcos60°=5\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{1}{2}$=$7.5\sqrt{3}m/{s}^{2}$，
速度相等經(jīng)歷的時間${t}_{3}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{2}{7.5\sqrt{3}}s$，
相對位移的大小$△x=v{t}_{3}-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=2×\frac{2}{7.5\sqrt{3}}-\frac{4}{15\sqrt{3}}$m=$\frac{4}{15\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{45}$m，
物塊繼續(xù)做勻加速直線運動的位移${x}_{2}=L-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=4-\frac{4}{15\sqrt{3}}m$，
繼續(xù)做勻加速直線運動的加速度大小a₂=gsin60°-μgcos60°=$5\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{1}{2}=2.5\sqrt{3}m/{s}^{2}$，
根據(jù)${x}_{2}=v{t}_{4}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{4}}^{2}$得，代入數(shù)據(jù)解得t₄=0.95s．
則相對位移的大小△x₂=x₂-vt₄，代入數(shù)據(jù)解得△x₂=1.95m，
因為△x₂＞△x，開始相對傳送帶向上滑動，再相對于傳送帶向下滑動，則相對于傳送帶滑行的位移為△X=△x₂=1.95m．
答：（1）工件在傳送帶上運動的平均速度為1.67m/s；
（2）工件在傳送帶上運動時，相對于傳送帶滑行的位移為1.95m．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清工件在傳送帶上的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解，本題分析工件運動規(guī)律較復雜，增加了題目的難度．