Question

14．如圖所示，質(zhì)量為m的小物塊甲輕放在以v_傳=5m/s向右勻速運動的傳送帶的左端A位置，當物塊運動到傳送帶右端B位置后從C點沿圓弧切線進入半徑R=0.2m的豎直光滑半圓形軌道，到達軌道最低點D后滑上水平光滑軌道，并與靜止在水平面上質(zhì)量為km的小物塊乙發(fā)生彈性碰撞．現(xiàn)測得物塊甲剛滑到軌道最低點D時對水平軌道的壓力N=13.5mg．物塊甲與傳動帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.4（g取10m/s²），求：
（1）小物塊甲沿半圓軌道運動到D點時的速度的大小；
（2）傳送帶AB兩位置間的長度；
（3）滿足甲、乙兩物塊只發(fā)生一次碰撞且甲、乙運動時不會離開軌道的k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在D點，根據(jù)向心力公式求解D點速度；
（2）從C到D的過程中，對甲應用動能定理求出C點速度，再從A到B的過程中，根據(jù)動能定理求出AB之間的長度；
（3）甲和乙發(fā)生彈性碰撞，碰撞過程中，動量和機械能都守恒，若碰撞后甲乙都向左運動，則滿足題設條件，
若碰撞后甲方向反向，則要使甲不脫離軌道則須滿足甲到達與圓心等高處之前速度為零，根據(jù)動量守恒和機械能守恒以及動能定理列式求解k的范圍．

解答 解：（1）在D點，根據(jù)向心力公式得：
N-mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{D}=\sqrt{12.5×10×0.2}=5m/s$
（2）從C到D的過程中，對甲應用動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mg•2R$
解得：${v}_{C}=\sqrt{17}m/s＜5m/s$，則甲從A端一直勻加速運動到B端，從A到B的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0=μm{gx}_{AB}$
解得：x_AB=2.125m
（3）甲和乙發(fā)生彈性碰撞，碰撞過程中，動量和機械能都守恒，若乙的質(zhì)量較小，則甲乙碰撞后速度都沿甲的速度方向，且乙的速度大于甲的速度，滿足條件，
當乙的質(zhì)量較大時，碰撞后甲的速度反向，甲反向后，要使甲不脫離軌道則須滿足甲到達與圓心等高處之前速度為零，設向左為正，碰撞過程中，根據(jù)動量守恒得：
mv_D=kmv_乙-mv₁
根據(jù)機械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=\frac{1}{2}km{{v}_{乙}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：${v}_{1}=\frac{5（k-1）}{1+k}$，${v}_{乙}=\frac{10}{1+k}$
對甲則有$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}≤mgR$，且v₁≤v_乙
解得：$1≤k≤\frac{7}{3}$
答：（1）小物塊甲沿半圓軌道運動到D點時的速度的大小為5m/s；
（2）傳送帶AB兩位置間的長度為2.125m；
（3）滿足甲、乙兩物塊只發(fā)生一次碰撞且甲、乙運動時不會離開軌道的k的取值范圍為$1≤k≤\frac{7}{3}$．

點評 本題考查了向心力公式、機械能守恒定律和動量守恒定律，知道彈性碰撞過程中，動量和機械能都守恒，清楚要是甲乙都不脫離軌道的條件，涉及的知識點較多，對學生的能力要求較強，難度較大．