Question

2．如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強電場，在圖中半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強磁場．在圓的左邊x=-2R處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速度v的帶電微粒．發(fā)射時，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區(qū)間內(nèi)．從A點射出的帶電微粒平行于x軸的方向進入有界磁場區(qū)域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開磁場．已知重力加速度大小為g，不計微粒間的相互作用．求：
（1）電場強度E的大小、方向及磁感應強度B的大小、方向．
（2）證明所有微粒都要經(jīng)過O點．
（3）粒子從發(fā)出到離開磁場的時間t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由平衡條件求出電場強度，由牛頓第二定律求出磁感應強度．
（2）分析清楚粒子運動過程，根據(jù)粒子運動過程分析答題．
（3）作出粒子運動軌跡，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角越大，粒子運動時間越長，根據(jù)粒子轉(zhuǎn)過的圓心角與粒子在圓周運動的周期求出粒子的運動時間．

解答 解：（1）微粒在電場中做直線運動，電場力等于重力：qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上（沿y軸正向），
在磁場中，qE與重力mg平衡，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
粒子運動軌跡如圖a所示，由幾何關(guān)系知：r=R，
解得：B=$\frac{mv}{qR}$，方向垂直xOy平面向外． 
（2）從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動．如圖b所示，P點與O點的連線與y軸的夾角為θ，則圓心Q的坐標為（-Rsinθ，Rcosθ），
又數(shù)學知識得：粒子圓周運動的軌跡方程為：（x+Rsinθ）²+（y-Rcosθ）²=R²，
令y=0，解得：x=0，由此可知所有粒子最后從坐標原點離開磁場；
（3）粒子在電場中做勻速直線運動，粒子進入磁場后做半徑為R的勻速圓周運動，
粒子最終都從坐標原點O離開磁場，粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πR}{v}$，
從最上端進入磁場的粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度為180°最大，因而運動的時間最長．
最長運動時間：t_max=t₁+t₂=$\frac{2R}{v}$+$\frac{1}{2}$T=$\frac{2R}{v}$+$\frac{πR}{v}$，
從下端射入的粒子運動時間最短：t_min=$\frac{2R}{v}$，
則粒子的運動時間：$\frac{2R}{v}$＜t＜$\frac{2R}{v}$+$\frac{πR}{v}$；
答：（1）電場強度E的大小為：$\frac{mg}{q}$，方向：豎直向上，磁感應強度B的大小為：$\frac{mv}{qR}$，方向：垂直xOy平面向外．
（2）證明如上所述．（3）粒子從發(fā)出到離開磁場的時間t的取值范圍是：$\frac{2R}{v}$＜t＜$\frac{2R}{v}$+$\frac{πR}{v}$．

點評 本題的關(guān)鍵與難點是由數(shù)學知識求是否還有其它粒子同時落到圓周上，平時要注重數(shù)學方法在物理中的應用，該題型常常作為壓軸題出現(xiàn)．本題考查了粒子在復合場、磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、應用平衡條件、牛頓第二定律、周期公式即可正確解題．