Question

3．物理學(xué)對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的研究促進(jìn)了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，提高了人們的生活水平．
（1）現(xiàn)代技術(shù)設(shè)備中常常利用電場(chǎng)或磁場(chǎng)來(lái)改變或控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子由靜止經(jīng)電壓為U的加速電場(chǎng)加速后射出（忽略電子所受重力）．
a．如圖甲所示，若電子從加速電場(chǎng)射出后沿平行極板的方向射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)可看作勻強(qiáng)電場(chǎng)，板間電壓為U′，極板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，板間距為d，求電子射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)速度的大小v以及射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角θ的正切值；
b．如圖乙所示，若電子從加速電場(chǎng)射出后沿直徑方向進(jìn)入半徑為r的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里．設(shè)電子射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與射入時(shí)相比偏轉(zhuǎn)了θ′角，請(qǐng)推導(dǎo)說明增大偏轉(zhuǎn)角θ′的方法（至少說出兩種）．
（2）磁場(chǎng)與電場(chǎng)有諸多相似之處．電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式E=$\frac{F}{q}$，請(qǐng)你由此類比，從運(yùn)動(dòng)電荷所受的洛倫茲力F_洛出發(fā)，寫出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的定義式；并從宏觀與微觀統(tǒng)一的思想出發(fā)構(gòu)建一個(gè)合適的模型，推理論證該定義式與B=$\frac{{F}_{安}}{IL}$這一定義式的一致性．

Answer 1

分析 （1）a．分析可知粒子在加速場(chǎng)中做加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用動(dòng)能定理即可求出粒子的速度，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解結(jié)合牛頓第二定律以及速度偏轉(zhuǎn)角公式，聯(lián)立即可求出偏轉(zhuǎn)角θ的正切值；
b．加速過程與a問中相同，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，求出含θ′的表達(dá)式，改變表達(dá)式中的參量，即可找出使增大偏轉(zhuǎn)角θ′的方法；
（2）建立圍觀模型，通過電流的微觀表達(dá)式I=nqSv，找到q和I之間的關(guān)系，即可證明兩個(gè)定義式的一致性．

解答 解：（1）a．在加速電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理可得：eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t
有運(yùn)動(dòng)的分解可知：
水平方向：L=vt
豎直方向：v_y=at，$\frac{U′}lr9frrje$=ma
速度偏轉(zhuǎn)角正切值為：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$
解得：tanθ=$\frac{U′L}{2Ud}$
b．由a問可知，入射電場(chǎng)的速度：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\sqrt{\frac{2Um}{e{B}^{2}}}$
電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

tan$\frac{θ′}{2}$=$\frac{r}{R}$
解得：tan$\frac{θ′}{2}$=r$\sqrt{\frac{e{B}^{2}}{2Um}}$
增大偏轉(zhuǎn)角θ′即增大tan$\frac{θ′}{2}$，可采用的方法有：
增大磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度B，增大勻強(qiáng)磁場(chǎng)半徑r，減小加速電壓U
（2）由洛倫茲力公式得：F_洛=qvB可知，B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$
根據(jù)題意構(gòu)建模型如下：
如圖所示，在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一段固定的長(zhǎng)為L(zhǎng)的直導(dǎo)線，已知導(dǎo)線橫截面積為S，
單位體積內(nèi)自由電荷數(shù)為n，導(dǎo)線內(nèi)自由電荷定向運(yùn)動(dòng)速率為v，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B

則導(dǎo)線內(nèi)自由電荷數(shù)：N=nSL
安培力與洛倫茲力的關(guān)系為：F_安=N•F_洛，
導(dǎo)線內(nèi)電流的微觀表達(dá)式：I=nqSv，
聯(lián)立上面三個(gè)式子可得：B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$=$\frac{{F}_{安}}{Nqv}$=$\frac{{F}_{安}}{qv•nSL}$=$\frac{{F}_{安}}{IL}$
即定義式：B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$與B=$\frac{{F}_{安}}{IL}$這一定義式是一致的．
答：（1）a．電子射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)速度的大小v為$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$，射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角θ的正切值為$\frac{U′L}{2Ud}$；
b．增大偏轉(zhuǎn)角θ′的方法：增大磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度B，增大勻強(qiáng)磁場(chǎng)半徑r，減小加速電壓U；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的定義式為B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$，證明過程見解析．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵是要正確畫出粒子軌跡過程圖，明確每一個(gè)過程粒子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，針對(duì)每一個(gè)過程選擇合適的規(guī)律解決問題；第二問較難，要根據(jù)兩個(gè)定義式中的物理量建立微觀物理模型才能證明出兩個(gè)定義式的一致性．