Question

9．如圖所示，質(zhì)量均為1kg的物塊AB靜止在水平面上，A、B由勁度系數(shù)為3N/cm的輕彈簧相連，物塊A套在豎直桿上，在豎直向上的力F作用下沿桿緩慢上移，已知物塊A、B處于水平面時距離為16cm，彈簧原長為18cm，物塊B與地面間動摩擦因數(shù)μ₁為0.75，物塊A與桿間動摩擦因數(shù)μ₂為0.5，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）當(dāng)A在地面時，B所受的摩擦力；
（2）當(dāng)A上升到c點時，彈簧的彈力恰為使物塊B運動的最小值，c點的高度為多少；
（3）B運動之前，力F隨上升高度h的變化如圖所示，求出坐標(biāo)a、b、F_c的數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)A在地面時，由胡克定律求出彈簧的彈力，再由平衡條件求B所受的摩擦力；
（2）當(dāng)A上升到c點時，彈簧的彈力恰使物塊B運動時，B所受的靜摩擦力達(dá)到最大值，對B，根據(jù)平衡條件，結(jié)合幾何關(guān)系求c點的高度．
（3）以A為研究對象，分析受力情況，由平衡條件、胡克定律、求幾何關(guān)系坐標(biāo)a、b、F_c的數(shù)值．

解答 解：3N/cm=300N/m；18cm=0.18m，16cm=0.16m
（1）當(dāng)A在地面時，由胡克定律得：彈簧的彈力大小為 F₁=k（l₀-l₁）=300×（0.18-0.16）=6N
對B，根據(jù)平衡條件可得，B所受的摩擦力大小為 f=F₁=6N，方向水平向右．
（2）B恰好要運動時，設(shè)彈簧的拉力為T，與水平方向之間的夾角為θ，則：
豎直方向：Tsinθ+F_N=mg，
水平方向：Tcosθ=μ₁F_N
拉力得：T=$\frac{{μ}_{1}mg}{cosθ+μsinθ}$=$\frac{{μ}_{1}mg}{\sqrt{1+{{μ}_{1}}^{2}}（cosαcosθ+sinαsinθ）}$=$\frac{{μ}_{1}mg}{\sqrt{1+{{μ}_{1}}^{2}}cos（α-θ）}$
其中：$cosα=\frac{1}{\sqrt{1+{{μ}_{1}}^{2}}}$，$sinα=\frac{{μ}_{1}}{\sqrt{1+{{μ}_{1}}^{2}}}$
可知，當(dāng)θ=α?xí)r，彈簧的拉力T有最小值，所以C點的高度：${h}_{c}=\overline{AB}•tanθ$=$\overline{AB}•tanα=\overline{AB}•\frac{sinα}{cosα}={μ}_{1}•\overline{AB}=0.75×0.16m=0.12m$
（3）A緩慢向上運動，可以看作是勻速運動過程，同時考慮到F=10N時，向上的力F等于物體A的重力，所以A在a兩點受到的彈簧的斜向上的彈力，則：
F-mg+Tsinθ-μ₂•Tcosθ=0
將F=10N以及其他數(shù)據(jù)代入，得：$cosθ=\sqrt{\frac{4}{5}}$
此時：$tanθ=\frac{1}{2}$
所以：${h}_{a}=\overline{AB}•tanθ$=$\frac{1}{2}×0.16$m=0.08m
根據(jù)：F-mg+Tsinθ-μ₂•Tcosθ=0
可知，當(dāng)彈簧的彈力恰好等于0時，即彈簧的長度等于原長時，向上的推力F也可以等于10N，此時：
${h}_=\sqrt{{L}_{0}^{2}-{\overline{AB}}^{2}}$=$\sqrt{0.1{8}^{2}-0.1{6}^{2}}=0.02\sqrt{17}$m≈0.0825m
h_c=0.12m時，$L=\sqrt{{\overline{AB}}^{2}+{h}_{c}^{2}}$=$\sqrt{0.1{8}^{2}+0.1{2}^{2}}$m≈0.216m
此時彈簧的拉力為：T=k•（L-L₀）=300×（0.216-0.18）=10.8N
對A進(jìn)行受力分析可知，A受到重力、彈簧的拉力、桿的支持力、向下的摩擦力以及向上的力F的作用：F-mg-Tsinθ-μ₂•Tcosθ=0
代入數(shù)據(jù)得：F=20.8N
答：（1）當(dāng)A在地面時，B所受的摩擦力是6N；
（2）當(dāng)A上升到c點時，彈簧的彈力恰為使物塊B運動的最小值，c點的高度為0.12m；
（3）B運動之前，力F隨上升高度h的變化如圖所示，坐標(biāo)a、b的數(shù)值分別為0.08m和0.0825m，F(xiàn)_c的數(shù)值是20.8N．

點評 該題結(jié)合胡克定律考查共點力作用下物體的平衡，解答的關(guān)鍵是使物塊B運動的拉力的最小值對應(yīng)的角度與B的重力無關(guān)，解答該最小值對數(shù)學(xué)三角函數(shù)的變換關(guān)系要求較高．