Question

4．小型登月器連接在航天站上，一起繞月球做圓周運動，其軌道距離月球表面的高度為月球半徑的2倍．已知航天站在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，某時刻，航天站使登月器減速分離，登月器沿如圖所示與月球相切的橢圓軌道登月，在月球表面逗留一段時間完成科考工作后，經快速啟動仍沿原橢圓軌道返回．整個過程中航天站保持原軌道繞月運行．已知月球半徑為R，引力常量為G，求：
（1）月球的質量？
（2）登月器離開月球表面返回航天站需要多長時間？

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供圓周運動向心力公式求月球的質量；
（2）根據開普勒第三定律求出橢圓軌道的周期，然后結合兩種軌道的特點可知，登月器離開月球表面返回航天站需要半個周期，由此即可求出．

解答 解：（1）對航天站，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
$\frac{G{M}_{月}m}{（3R）^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}•3R}{{T}^{2}}$
由題意知：T=$\frac{t}{T}$
M_月=$\frac{108{R}^{3}{n}^{2}{π}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）設登月器做橢圓運動的周期為，由開普勒第三定律得：
$\frac{（3R）^{2}}{{T}^{2}}=\frac{（\frac{2R+R}{2}）^{2}}{T{′}^{2}}$
聯立得：$T′=\frac{2\sqrt{6}}{9n}•t$
登月器離開月球表面返回航天站需要的時間t=$\frac{T′}{2}=\frac{\sqrt{6}t}{9n}$
答：（1）月球的質量是$\frac{108{R}^{3}{n}^{2}{π}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）登月器離開月球表面返回航天站需要的時間是$\frac{\sqrt{6}t}{9n}$．

點評 該題考查萬有引力定律的應用，解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力公式及開普勒第三定律的公式，難度不大，屬于基礎題．