Question

如圖所示，在一底邊長為2L，θ=45°的等腰三角形區(qū)域內（O為底邊中點）有垂直紙面向外的勻強磁場．現有一質量為m，電量為q的帶正電粒子從靜止開始經過電勢差為U的電場加速后，從O點垂直于AB進入磁場，不計重力與空氣阻力的影響．
（1）粒子經電場加速射入磁場時的速度？
（2）磁感應強度B為多少時，粒子能以最大的圓周半徑偏轉后打到OA板？
（3）增加磁感應強度的大小，可以再延長粒子在磁場中的運動時間，求粒子在磁場中運動的極限時間．（不計粒子與AB板碰撞的作用時間，設粒子與AB板碰撞前后，電量保持不變并以相同的速率反彈）

Answer 1

分析：（1）由動能定理求粒子進入勻強磁場的速度；
（2）要使圓周半徑最大，則粒子的圓周軌跡應與AC邊相切，畫出運動軌跡，根據幾何關系及向心力公式求解；
（3）當r越小，后一次打到AB板的點越靠近A端點，在磁場中圓周運動累積路程越大，時間越長．當r為無窮小，經過n個半圓運動，最后一次打到A點．

解答：解：（1）依題意，粒子經電場加速射入磁場時的速度為v
由  qU=

1

2

mv2①
得v=

2qU m

②
（2）要使圓周半徑最大，則粒子的圓周軌跡應與AC邊相切，設圓周半徑為R
由圖中幾何關系：R+

R

sinθ

=L③
由洛侖茲力提供向心力：qvB=m

v2

R

④

聯立②③④解得B=

(1+ 2 ) 2Uqm

qL

⑤
（3）設粒子運動圓周半徑為r，r=

mv

qB

，當r越小，最后一次打到AB板的點越靠近A端點，在磁場中圓周運動累積路程越大，時間越長．當r為無窮小，經過n個半圓運動，最后一次打到A點．有：n=

L

2r

⑥
圓周運動周期：T=

2π?r

v

⑦
最長的極限時間tm=n

T

2

⑧
由⑥⑦⑧式得：tm=

π?L

2v

=

π?L

2

m 2qU

答：（1）粒子經電場加速射入磁場時的速度為

2qU m

；
（2）磁感應強度B為

(1+ 2 ) 2Uqm

qL

時，粒子能以最大的圓周半徑偏轉后打到OA板；
（3）增加磁感應強度的大小，可以再延長粒子在磁場中的運動時間，粒子在磁場中運動的極限時間為

π?L

2

m 2qU

．

點評：做好此類題目的關鍵是準確的畫出粒子運動的軌跡圖，利用幾何知識求出粒子運動的半徑，再結合半徑公式和周期公式去分析．