Question

電子擴(kuò)束裝置由電子加速器、偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)組成．偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)由加了電壓的相距為d的兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板形成，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的左邊界與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的右邊界相距為s，如圖甲所示．大量電子（其重力不計(jì)）由靜止開始，經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，連續(xù)不斷地沿平行板的方向從兩板正中間射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)．當(dāng)兩板不帶電時(shí)，這些電子通過兩板之間的時(shí)間為2t₀，當(dāng)在兩板間加如圖乙所示的周期為2t₀、幅值恒為U₀的電壓時(shí)，所有電子均從兩板間通過，進(jìn)入水平寬度為l，豎直寬度足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，最后通過勻強(qiáng)磁場(chǎng)打在豎直放置的熒光屏上．問：

（1）電子在剛穿出兩板之間時(shí)的最大側(cè)向位移與最小側(cè)向位移之比為多少？
（2）要使側(cè)向位移最大的電子能垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為多少？
（3）在滿足第（2）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度為多少？（已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的半徑的公式可知，粒子的速度越大，半徑越大，所以要使電子的側(cè)向位移最大，應(yīng)讓電子從0、2t₀、4t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，要使電子的側(cè)向位移最小，應(yīng)讓電子從t₀、3t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)；
（2）電子垂直打在熒光屏上，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡的幾何關(guān)系，可以求得勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（3）于各個(gè)時(shí)刻從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中出來的電子的速度大小相同，方向也相同，因此電子進(jìn)入磁場(chǎng)后的半徑也相同．根據(jù)電子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中出來時(shí)的最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移可以求得打在熒光屏上的電子束的寬度．

解答：解：（1）由題意可知，要使電子的側(cè)向位移最大，應(yīng)讓電子從0、2t₀、4t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，
在這種情況下，電子的側(cè)向位移為
y_max=

1

2

a

t

2 0

+v_yt₀
y_max=

1

2

eU0

dm

t

2 0

+

eU0

dm

t

2 0

=

3

2

eU0

dm

t

2 0

要使電子的側(cè)向位移最小，應(yīng)讓電子從t₀、3t₀…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，
在這種情況下，電子的側(cè)向位移為y_min=

1

2

a

t

2 0

      
所以 y_min=

1

2

eU0

dm

t

2 0

   
所以最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移之比為y_max：y_min=3：1
（2）設(shè)電子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中射出時(shí)的偏向角為θ，由于電子要垂直打在熒光屏上，
所以電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)為：R=

l

sinθ

設(shè)電子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中出來時(shí)的速度為v_t，垂直偏轉(zhuǎn)極板的速度為v_y，
則電子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中出來時(shí)的偏向角為sinθ=

vy

vt

式中v_y=

eU0

dm

t₀
又   R=

mvt

Be

由上述四式可得B=

U0t0

dl

（3）由于各個(gè)時(shí)刻從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中出來的電子的速度大小相同，方向也相同，
因此電子進(jìn)入磁場(chǎng)后的半徑也相同．
由第（1）問可知電子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中出來時(shí)的最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移的差值為：
△y=y_max-y_min  
所以△y=

eU0

dm

t

2 0

所以打在熒光屏上的電子束的寬度為△y=

eU0

dm

t

2 0

．

點(diǎn)評(píng)：電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑．定圓心角，求時(shí)間．