Question

12．如圖所示，相互平行、間距為d的兩個界面S₁、S₂把空間分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域，在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場B₁和B₂，區(qū)域Ⅲ內(nèi)勻強電場E的方向由S₁指向S₂，一個質(zhì)量為m、電量為-q的帶電粒子，以平行于電場線的初速度v₀從與S₁相距$\fracpmw94zk{4}$的O點開始向S₁運動，若帶電粒子在運動過程中除電場力、磁場力外不受其它力，為使粒子能夠沿圖中的軌跡一直運動下去（軌道的兩個半圓的半徑相等）．求：
（1）磁感應強度B₁和B₂之比；
（2）電場強度E應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）明確粒子的運動過程，對電場中運動根據(jù)動能定理求解速度，對磁場中的運動根據(jù)洛倫茲力充當向心力列式，聯(lián)立即可求得磁感應強度的比值；
（2）明確題意，知道粒子能沿給出軌跡一直運動的條件是能減速以一定的速度進入B₂；根據(jù)動能定理列式即可求解E的大�。�

解答 解：（1）粒子以初速度v₀向S₁運動，在電場中做勻加速運動，由動能定理可得：Eq$\frachaenyrf{4}$=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²
在勻強電場B₁中，粒子以速度v₁做勻速圓周運動，根據(jù)洛倫茲力充當向心力可得：qv₁B₁=m$\frac{v_{1}^{2}}{R}$
粒子以速度v₁進入勻強電場，做勻減速直線運動，由動能定理和：-Eq$\frac{3d}{4}$=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²
在勻強磁場B2中，做勻速圓周運動，則有：qv₂B₂=m$\frac{v_{2}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上各式解得：$\frac{B_{1}}{B_{2}}$=$\frac{\sqrt{v_{0}^{2}+\frac{Eqd}{2m}}}{\sqrt{v_{0}^{2}-\frac{3Eqd}{2m}}$=$\frac{\sqrt{2mv_{0}^{2}+Eqd}}{\sqrt{2mv_{0}^{2}-3Eqd}}$；
（2）只要粒子能經(jīng)過電場減速進入B₂，則粒子能夠沿圖中的軌跡一直運動下去，則由動能定理可得：-Eq$\frac{3d}{4}$=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²
且v₂＞0
聯(lián)立解得：E＜$\frac{2mv_{0}^{2}}{3qd}$
答：（1）磁感應強度B₁和B₂之比為$\frac{\sqrt{2mv_{0}^{2}+Eqd}}{\sqrt{2mv_{0}^{2}-3Eqd}}$；
（2）電場強度E應滿足的條件為E＜$\frac{2mv_{0}^{2}}{3qd}$

點評 本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運動規(guī)律，要注意明確帶電粒子在電場中一般用動力學規(guī)律或動能定理分析求解；而在磁場中一般利用洛倫茲力充當向心力規(guī)律分析求解，要掌握對應的方法．