Question

6．如圖所示為某種新型分離設(shè)備內(nèi)部電、磁場(chǎng)分布情況圖．自上而下分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域．區(qū)域Ⅰ寬度為d₁，分布有沿紙面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁；區(qū)域Ⅱ?qū)挾葹閐₂，分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁；寬度可調(diào)的區(qū)域Ⅲ中分布有沿紙面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂．現(xiàn)有一群質(zhì)量和帶電量均不同的帶電粒子從區(qū)域Ⅰ上邊緣的注入孔A點(diǎn)被注入，這些粒子都只在電場(chǎng)力作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，然后相繼進(jìn)入Ⅱ、Ⅲ兩個(gè)區(qū)域，滿足一定條件的粒子將回到區(qū)域Ⅰ，其他粒子則從區(qū)域Ⅲ飛出，三區(qū)域都足夠長(zhǎng)．已知能飛回區(qū)域Ⅰ的帶電粒子的質(zhì)量為m=6.4×10^-27kg、帶電量為q=3.2×10^-19C，且有d₁=10cm，d₂=5$\sqrt{2}$cm，E₁=E₂=40V/m，B₁=4×10^-3T，B₂=2$\sqrt{2}$×10^-3T．試求：
（1）該帶電粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)的速度；
（2）該帶電粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度；
（3）為使該帶電粒子還能回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣，區(qū)域Ⅲ的寬度d₃應(yīng)滿足的條件；
（4）該帶電粒子第一次回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣時(shí)離開(kāi)A點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)E₁中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)B₁時(shí)的速度大小．
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)B₁中，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子軌跡半徑，由幾何知識(shí)得出粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度方向．
（3）（4）粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域時(shí)，受到電場(chǎng)力和洛倫茲力，采用運(yùn)動(dòng)的分解法，將粒子的速度分解為水平和豎直兩個(gè)方向，分別求出這兩個(gè)方向速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力，分析粒子水平方向的運(yùn)動(dòng)情況：勻速直線運(yùn)動(dòng)．分析與豎直速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力，分析得知粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成，由幾何知識(shí)求出區(qū)域Ⅲ的寬度d₃應(yīng)滿足的條件和能飛回區(qū)域Ⅰ的粒子第一次回到區(qū)域Ⅰ上邊緣時(shí)離A的距離．

解答 解：為研究方便，建立如圖所示坐標(biāo)系
（1）由E₁qd₁=$\frac{1}{2}m{v^2}$得，帶電粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)的速度：
$v=\sqrt{\frac{{2{E_1}q{d_1}}}{m}}=2×1{0^4}m/s$，方向沿y軸正向．
（2）帶電粒子在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受洛侖茲力，且不做功，所以帶電粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度大小仍為：
v=2×10⁴m/s
方向：由圖中幾何關(guān)系可知：$sinθ=\frac{l1f9o6i_{2}}{{R}_{1}}$，
又由${B_1}qv=m\frac{{v_{\;}^2}}{R_1}$得：${R_1}=\frac{mv}{{B{\;}_1q}}$
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)得：R₁=10cm，$sinθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即θ=45°
所以帶電粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度方向與x軸正向夾45°．
（3）如果將帶電粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ也即進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ時(shí)的速度分解成v_x和v_y，則有：
v_x=v_y=vsin45°=$\sqrt{2}×{10^4}m/s$，
所以${B_2}q{v_x}={B_2}q{v_y}=1.28×{10^{-17}}N$，B₂qv_x方向沿y軸反向，B₂qv_y方向沿x軸正向，
又因?yàn)?{E_2}q=1.28×{10^{-17}}N$，方向沿y軸正向，即E₂q與B₂qv_x抵消．
所以帶電粒子在區(qū)域Ⅲ中運(yùn)動(dòng)可視為沿x軸正向的速度為v_x的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速率為v_y以及對(duì)應(yīng)洛淪茲力B₂qv_y作為向心力的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的疊加，軌跡如圖所示．
圓周運(yùn)動(dòng)半徑為${R_2}=\frac{{m{v_y}}}{{{B_2}q}}$=10cm，周期T=$\frac{2πm}{{{B_2}q}}$=$\sqrt{2}π×{10^{-5}}s$
所以只要帶電粒子運(yùn)動(dòng)到軌跡最低點(diǎn)C時(shí)不出區(qū)域Ⅲ，就可回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣．
所以區(qū)域Ⅲ的寬度應(yīng)滿足d₃＞h
由上面的運(yùn)動(dòng)分析可知，帶電粒子到最低點(diǎn)，圓周運(yùn)動(dòng)剛好轉(zhuǎn)過(guò)$\frac{T}{4}$，
得：h=${R_2}=\frac{{m{v_y}}}{{{B_2}q}}$=0.1m=10cm
所以d₃＞10cm
（4）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知，帶電粒子回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣的B點(diǎn)，距A點(diǎn)的距離為：
d=2[（1-cosθ）R₁+R₂+v_y•$\frac{T}{4}$]
代入數(shù)據(jù)得：d=40+10π-10$\sqrt{2}$=57.26cm
答：（1）該帶電粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)的速度為2×10⁴m/s，方向沿y軸正向．；
（2）該帶電粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度大小為2×10⁴m/s，方向與x軸正向夾45°向右下方；
（3）為使該帶電粒子還能回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣，區(qū)域Ⅲ的寬度d₃應(yīng)滿足的條件為d₃＞10cm；
（4）該帶電粒子第一次回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣時(shí)離開(kāi)A點(diǎn)的距離為57.26cm．

點(diǎn)評(píng) 本題粒子在電場(chǎng)E₁中加速，根據(jù)動(dòng)能定理求速度，在磁場(chǎng)B₁中偏轉(zhuǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求半徑，畫(huà)軌跡，都是常用思路，難點(diǎn)是研究電場(chǎng)E₂和磁場(chǎng)B₂疊加區(qū)域，采用運(yùn)動(dòng)的分解法研究粒子的運(yùn)動(dòng)，不容易想到，有較大的難度．