Question

14．在光滑的水平面上有一木板A，其質(zhì)量為M，木板A的左端有一小滑塊B（可視為質(zhì)點），其質(zhì)量為m，滑塊和木板均處于靜止狀態(tài)．已知滑塊和木板之間的動摩擦因數(shù)為μ．

（1）如圖1所示，在光滑水平面的右端固定一豎直彈性擋板，現(xiàn)使滑塊B在極短的時間內(nèi)獲得水平向右的速度v₀，然后沿著木板滑動，經(jīng)過一段時間，在木板A與擋板碰撞之前，滑塊和木板具有共同速度．
a．求在木板A與擋板碰撞之前，滑塊和木板共同速度的大小；
b．木板A與擋板碰撞，其碰撞時間極短且沒有機械能損失，即木板碰后以原速率彈回．若滑塊B開始運動后始終沒有離開木板的上表面，求木板的最小長度．
（2）假定滑塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等且木板足夠長．如圖2所示，現(xiàn)給滑塊施加一隨時間t增大的水平力F=kt（k是常量），方向水平向右，木板和滑塊加速度的大小分別為a₁和a₂，請定性畫出a₁和a₂隨時間t變化的圖線．

Answer 1

分析 （1）a．AB組成的系統(tǒng)動量守恒，以向右為正，根據(jù)動量守恒定律求解；
b．碰前第一次達到共同速度v時，根據(jù)動能定理求出滑塊相對木板移動的距離，若m≤M，木板與擋板碰后，木板與滑塊相互作用，二者達到共同速度，一起向左運動．碰后達到共同速度v₁，取向左為正方向，根據(jù)動量守恒定律以及動能定理列式，聯(lián)立方程求解，m＞M，則木板與擋板碰后，木板和滑塊的總動量方向向右．當滑塊與木板再次達到共同速度時，二者一起向右運動，接著又與擋板發(fā)生碰撞，經(jīng)過多次碰撞后，最終它們停在擋板處，機械能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)動能定理求解；
（2）木板與滑塊先一起做加速度增大的加速運動，當外力F超過某值時，滑塊相對木板滑動，木板做勻加速直線運動，滑塊做加速度增大的加速運動，進而畫出圖象．

解答 解：（1）a．AB組成的系統(tǒng)動量守恒，以向右為正，根據(jù)動量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v 
解得：$v=\frac{{m{v_0}}}{m+M}$
b．①碰前第一次達到共同速度v時，滑塊相對木板移動的距離為x₁：
$μmg{x_1}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}（m+M）{v^2}$
若m≤M，木板與擋板碰后，木板與滑塊相互作用，二者達到共同速度，一起向左運動．碰后達到共同速度v₁，取向左為正方向，根據(jù)動量守恒定律有：
（M-m）v=（M+m）v₁
木板與擋板碰后，滑塊相對木板滑動的距離為x₂：
$μmg{x_2}=\frac{1}{2}（M+m）v_{\;}^2-\frac{1}{2}（m+M）{v_1}^2$
滑塊在木板上總共滑行的距離即木板的最小長度為：L=x₁+x₂
解得：$L=\frac{Mv_0^2}{2μ（m+M）g}[1+\frac{{4{m^2}}}{{{{（m+M）}^2}}}]$
或 $L=\frac{Mv_0^2}{2μg}•\frac{{{M^2}+2mM+5{m^2}}}{{{{（m+M）}^3}}}$
b．②若m＞M，則木板與擋板碰后，木板和滑塊的總動量方向向右．當滑塊與木板再次達到共同速度時，二者一起向右運動，接著又與擋板發(fā)生碰撞，經(jīng)過多次碰撞后，最終它們停在擋板處，機械能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．有：
$μmg{x_3}=\frac{1}{2}mv_0^2$
解得：${x_3}=\frac{v_0^2}{2μg}$
滑塊在木板上總共滑行的距離即木板的最小長度為：
L=${x_3}=\frac{v_0^2}{2μg}$
（2）木板與滑塊先一起做加速度增大的加速運動，當外力F超過某值時，滑塊相對木板滑動，木板做勻加速直線運動，滑塊做加速度增大的加速運動．
如圖所示．   
答：（1）a．在木板A與擋板碰撞之前，滑塊和木板共同速度的大小為$\frac{m{v}_{0}}{m+M}$；
b．木板的最小長度為$\frac{M{v}_{0}^{2}}{2μ（m+M）g}[1+\frac{4{m}^{2}}{{（m+M）}^{2}}]$或$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$．
（2）a₁和a₂隨時間t變化的圖線如圖所示．

點評 解決本題的關(guān)鍵是A與B組成的系統(tǒng)在碰撞過程中滿足動量守恒，A在B上滑動時，A相對于B滑動的位移為相對位移，摩擦力在相對位移上做的功等于系統(tǒng)機械能的損耗．