Question

（10分）如圖所示，一對(duì)光滑的平行金屬導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，導(dǎo)軌間距L=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的電阻，一質(zhì)量m=0.1kg，電阻r=0.1Ω的金屬棒MN放置在導(dǎo)軌上，整個(gè)裝置置于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T，棒在水平向右的外力作用下，由靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)棒運(yùn)動(dòng)的位移x=9m時(shí)速度達(dá)到6m/s，此時(shí)撤去外力，棒繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段距離后停下來(lái)，已知撤去外力前后回路中產(chǎn)生的焦耳熱之比Q₁：Q₂=2:1，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)，棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸，求
 
(1) 棒在勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量q
(2) 金屬棒MN做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)所需外力隨時(shí)間變化的表達(dá)式
(3) 外力做的功W_F

Answer 1

（1）4.5C（2）F＝0.2＋0.2t （3）5.4J

試題分析：（1）設(shè)棒勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Δt，回路的磁通量變化量為ΔΦ，回路中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，由法拉第電磁感應(yīng)定律得＝ 
其中ΔΦ＝Blx
設(shè)回路中的平均電流為，由閉合電路的歐姆定律得＝
則通過(guò)電阻R的電荷量為q＝Δ
聯(lián)立①②③④式，代入數(shù)據(jù)得q＝4.5 C
（2）)設(shè)撤去外力時(shí)棒的速度為v，對(duì)棒的勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v²＝2ax
得a＝2 m/s²
E＝Blv
I=E/(R+r)
由安培力公式和牛頓第二定律得F－BIl＝ma
得F＝0.2＋0.2t
（3）撤去外力后棒在安培力作用下做減速運(yùn)動(dòng)，安培力做負(fù)功先將棒的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能，再通過(guò)電流做功將電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以焦耳熱等于棒的動(dòng)能減少。有
Q₂=ΔE_K=mv²/2=1.8J
根據(jù)題意在撤去外力前的焦耳熱為Q₁= Q₂=3.6J
撤去外力前拉力做正功、安培力做負(fù)功（其大小等于焦耳熱Q₁）、重力不做功共同使棒的動(dòng)能增大，根據(jù)動(dòng)能定理有ΔE_K=W_F-Q₁
則ΔE_K=W_F=Q₁+ΔE_K=5.4J