Question

3．如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動周期為T，已知星球相對飛行器的張角為θ，引力常量為G．求該星球的密度？

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求出飛行器的軌道半徑，結(jié)合萬有引力提供向心力求出星球的質(zhì)量，從而得出星球的平均密度．

解答 解：設(shè)星球的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系知，飛行器的軌道半徑為：r=$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$，
根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得星球的質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，
則星球的密度為：$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$．
答：星球的平均密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，知道運用該理論只能求解中心天體質(zhì)量，不能求解環(huán)繞天體質(zhì)量．