Question

【題目】（20）（本小題滿分13分）
已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）綜上所述：

當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

函數(shù)有極小值，極小值是；

當時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，

極大值是

極小值是；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，

極大值是；

極小值是.

【解析】解：（Ⅰ）由題意

又，

所以，

因此 曲線在點處的切線方程為

，

即 .

（Ⅱ）由題意得 ，

因為

，

令

則

所以在上單調(diào)遞增.

所以 當時，單調(diào)遞減，

當時，

(1)當時，

當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

所以 當時取得極小值，極小值是 ；

(2)當時，

由 得 ，

①當時，，

當時，，單調(diào)遞增；

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增.

所以 當時取得極大值.

極大值為，

當時取到極小值，極小值是 ；

②當時，，

所以 當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

③當時，

所以 當時，，單調(diào)遞增；

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

所以 當時取得極大值，極大值是；

當時取得極小值.

極小值是.

綜上所述：

當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

函數(shù)有極小值，極小值是；

當時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，

極大值是

極小值是；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，

極大值是；

極小值是.