Question

19．如圖所示，在XOY坐標(biāo)系內(nèi)有垂直于XOY所在平面的范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．某時(shí)刻有兩個(gè)粒子P、Q分別從坐標(biāo)原點(diǎn)O及X軸上的Q點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．兩粒子帶同種電荷，帶電量均為q，質(zhì)量均為m，P粒子的初速度方向沿X軸負(fù)方向，速度大小為V，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示．Q粒子初速度方向是在XOY平面內(nèi)所有可能的方向，Q點(diǎn)到O點(diǎn)的距離是P粒子軌道半徑的1.5倍，兩粒子所受重力不計(jì)．
（1）兩粒子帶的是正電還是負(fù)電？P粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R是多少？
（2）若兩粒子在Y軸上的A點(diǎn)相遇，則Q粒子的速度多大？
（3）若Q粒子的初速度方向豎直向下，則要使兩個(gè)粒子的軌跡沒(méi)有交點(diǎn)，Q粒子的速度大小怎樣？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子偏轉(zhuǎn)方向應(yīng)用左手定則可以判斷出粒子的電性，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑；
（2）根據(jù)粒子的周期公式求出兩粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系，根據(jù)題意確定粒子在A點(diǎn)相遇的條件，然后由幾何知識(shí)求出Q的軌道半徑，然后求出粒子的速度；
（3）畫(huà)出軌跡，假設(shè)兩粒子相遇在Q點(diǎn)，由幾何關(guān)系有PQ=2R_Nsinθ，如圖，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)半徑關(guān)系，得到速度關(guān)系，然后求出粒子的速度．

解答 解：（1）由題意可知，粒子P沿順時(shí)針?lè)较蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)，
粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所受洛倫茲力豎直向上，由左手定則，粒子帶的是負(fù)電；
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$；
（2）若在A點(diǎn)相遇，則由題意可知：t_P=t_Q，
又從圖中可見(jiàn)P粒子到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間滿足：t_P=kT_P+$\frac{1}{2}$T_P，
（T_P為P粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，k=0、1、2…）   
所以：t_Q=kT_P+$\frac{1}{2}$T_P，
又由題兩粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，即：T_P=T_Q，
所以：t_Q=kT_Q+$\frac{1}{2}$T_Q，
所以題圖中的AQ為Q粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的直徑，即：|AQ|=2R_Q=2$\frac{m{v}_{Q}}{qB}$，
又|AQ|=$\sqrt{（2{R}_{P}）^{2}+（1.5{R}_{P}）^{2}}$=2.5R_P=2.5$\frac{mv}{qB}$，則：v_Q=1.25v；
（3）由題意可知，要讓兩個(gè)粒子的軌跡不相交，粒子Q的速度可以取小一點(diǎn)，也可取大一點(diǎn)，
先討論取小一點(diǎn)的情況，如圖所示，當(dāng)粒子Q的軌跡與P粒子的軌跡相切時(shí)，v_Q取極值，
由幾何知識(shí)得：（R+r）sinα+r=1.5R，（R+r）cosα=R，即：r=0.45R，所以：v_Q=0.45v，
再討論取大一點(diǎn)的情況，如圖所示，當(dāng)粒子Q的軌跡與P粒子的軌跡相切時(shí)，v_Q也取極值，
由幾何知識(shí)得：R²+（r-1.5R）²=（r-R）²，解得：r=2.25R，v_Q=2.25v，
綜上，要使兩粒子軌跡不相交，Q粒子的速度為：0.45v或2.25v；
答：（1）兩粒子帶負(fù)電，P粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R是$\frac{mv}{qB}$；
（2）若兩粒子在Y軸上的A點(diǎn)相遇，則Q粒子的速度為1.25v；
（3）若Q粒子的初速度方向豎直向下，則要使兩個(gè)粒子的軌跡沒(méi)有交點(diǎn)，Q粒子的速度大小為0.45v或2.25v．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析兩個(gè)粒子之間運(yùn)動(dòng)周期和軌跡半徑的關(guān)系，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力．