Question

18．物體做圓周運(yùn)動時所需的向心力F_需由物體運(yùn)動情況決定，合力提供的向心力F_供由物體受力情況決定．若某時刻F_需=F_供，則物體能做圓周運(yùn)動；若F_需＞F_供，物體將做離心運(yùn)動；若F_需＜F_供，物體將做近心運(yùn)動．現(xiàn)有一根長L=1m的剛性輕繩，其一端固定于O點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量m=0.5kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），將小球提至O點(diǎn)正上方的A點(diǎn)處，此時繩剛好伸直且無張力，如圖所示．不計空氣阻力，g取10m/s²，則：
（1）為保證小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，在A點(diǎn)至少應(yīng)施加給小球多大的水平速度？
（2）在小球以速度v₁=4m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為多少？
（3）在小球以速度v₂=2m/s水平拋出的瞬間，繩中若有張力，求其大��；若無張力，試求繩子再次伸直時所經(jīng)歷的時間．

Answer 1

分析 （1）小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)時至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，由重力作為向心力可以求得最小的速度；
（2）根據(jù)第一問的判斷可以知道v₁＞V₀，故繩中有張力，由向心力的公式可以求得繩的拉力的大��；
（3）由于v₂＜V₀，故繩中沒有張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律可以求得運(yùn)動的時間

解答 解：（1）要使小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)時至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，
所以 由 mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$得
v₀=$\sqrt{gL}=\sqrt{10}$m/s
（2）因為v₁＞V₀，故繩中有張力，
由牛頓第二定律得，
T-mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
代入數(shù)據(jù)解得，繩中的張力為T=3N，
（3）因為v₂＜V₀，故繩中沒有張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動，如圖所示
水平方向：x=v₂t
豎直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²
L²=（y-L）²+x²
解得：t=$\frac{\sqrt{5}}{5}s$
答：（1）為保證小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，在A點(diǎn)至少應(yīng)施加給小球$\sqrt{10}m/s$的水平速度；
（2）在小球以速度v₁=4m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為3N；
（3）在小球以速度v₂=2m/s水平拋出的瞬間，繩中無張力，繩子再次伸直時所經(jīng)歷的時間為$\frac{\sqrt{5}}{5}s$．

點(diǎn)評 要使小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)時至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，這是本題中的一個臨界條件，與此時的物體的速度相對比，可以判斷物體能否做圓周運(yùn)動，進(jìn)而再根據(jù)不同的運(yùn)動的規(guī)律來分析解決問題，本題能夠很好地考查學(xué)生的分析解決問題的能力，是道好題．