Question

【題目】如圖所示，皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R= m，兩輪軸心相距L=3.75 m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑。一個(gè)質(zhì)量為0.1 kg的小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=。g取10 m/s2。

（1）當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向以v1=3 m/s的速度勻速運(yùn)動時(shí)，將小物塊無初速地放在A點(diǎn)后，它運(yùn)動至B點(diǎn)需多長時(shí)間？（計(jì)算中可取≈16，≈20）

（2）小物塊相對于傳送帶運(yùn)動時(shí)，會在傳送帶上留下痕跡。當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動時(shí)，小物塊無初速地放在A點(diǎn)，運(yùn)動至B點(diǎn)飛出。要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運(yùn)動的速度v2至少多大？

Answer 1

【答案】（1）t=1.2 s （2）v2=12.25 m/s

【解析】（1）當(dāng)小物塊速度小于3 m/s時(shí)，小物塊受到豎直向下的重力、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運(yùn)動，設(shè)加速度為a1，根據(jù)牛頓第二定律

Mgsin 30°+μmgcos 30°=ma1①

解得a1=7.5 m/s2

當(dāng)小物塊速度等于3 m/s時(shí)，設(shè)小物塊對地位移為L1，用時(shí)為t1，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動規(guī)律得

②

③

代入解得t1=0.4 s

L1=0.6 m

由于L1<L且μ<tan 30°，當(dāng)小物塊速度等于3 m/s時(shí)，小物塊將繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動至B點(diǎn)，設(shè)加速度為a2，用時(shí)為t2，根據(jù)牛頓第二定律和勻加速直線運(yùn)動規(guī)律得

Mgsin 30°–μmgcos 30°=ma2④

解得a2=2.5 m/s2

又L–L1=v1t2+a2t22⑤

解得t2≈0.8 s

故小物塊由靜止出發(fā)從A到B所用時(shí)間為t=t1+t2=1.2 s

（2）傳送帶勻速運(yùn)動的速度越大，小物塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)用時(shí)越短，當(dāng)傳送帶速度等于某一值v′時(shí)，小物塊將從A點(diǎn)一直以加速度a1做勻加速直線運(yùn)動到B點(diǎn)，所用時(shí)間最短，設(shè)用時(shí)t0，即

L=a1t02⑥

解得t0=1 s

傳送帶的速度繼續(xù)增大，小物塊從A到B的時(shí)間保持t0不變，而小物塊和傳送帶之間的相對路程繼續(xù)增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續(xù)增大；當(dāng)痕跡長度等于傳送帶周長時(shí)，痕跡為最長smax。

設(shè)此時(shí)傳送帶速度為v2，則

smax=2L+2πR⑦

smax=v2t0–L⑧

聯(lián)立⑥⑦⑧解得v2=12.25 m/s