Question

【題目】如圖所示，軌道倪a、b、c在同一豎直平面內(nèi)，其中a是末端水平（可看做與D重合）的光滑圓弧軌道，b是半徑為r=2m的光滑半圓形軌道且直徑DF沿豎直方向，水平軌道c上靜止放置著相距l(xiāng)=1.0m的物塊B和C，B位于F處，現(xiàn)將滑塊A從軌道a以上距D點(diǎn)高為H的位置由靜止釋放，滑塊A經(jīng)D處水平進(jìn)入軌道b后能沿軌道（內(nèi)軌）運(yùn)動(dòng)，到達(dá)F處與物塊B正碰，碰后A、B粘在一起向右滑動(dòng)，并再與C發(fā)生正碰．已知A、B、C質(zhì)量分別為m、m、km，均可看做質(zhì)點(diǎn)，物塊與軌道C的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.45．（設(shè)碰撞時(shí)間很短，g取10m/s2）

（1）求H的最小值和H取最小值時(shí)，AB整體與C碰撞前瞬間的速度；
（2）若在滿足（1）的條件下，碰后瞬間C的速度=2.0m/s，請(qǐng)根據(jù)AB整體與C的碰撞過(guò)程分析k的取值，并討論與C碰撞后AB的可能運(yùn)動(dòng)方向．

Answer 1

【答案】
（1）解：滑塊A從軌道a下滑到達(dá)D點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：

mgH= mvD2，

要使滑塊A能沿豎直平面內(nèi)光滑半圓軌道b內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)應(yīng)滿足：

mg≤ ，

聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得 H≥1m

所以H的最小值為1m．

滑塊A從a軌道上H=1m處下滑到達(dá)F點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得

mg（H+2r）=

可得，滑塊經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的速度 v0=10m/s

A、B碰撞過(guò)程，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得

mv0=2mv1．

設(shè)AB整體與C碰撞前瞬間的速度為v2．由動(dòng)能定理得

﹣μ2mgl= ﹣

聯(lián)立以上各式解得 v2=4m/s

答：H的最小值是1m，H取最小值時(shí)，AB整體與C碰撞前瞬間的速度是 m/s．

（2）若AB整體與C發(fā)生非彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律得

2mv2=（2m+km）v

代入數(shù)據(jù)解得 k=2

此時(shí)AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相同．

若AB整體與C發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得

2mv2=2mv3+kmv

×2mv22= ×2mv32+ kmv2

解得 v3= v2，v= v2

代入數(shù)據(jù)解得 k=6

此時(shí)AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相反．

若AB整體與C發(fā)生碰撞后AB整體速度為0，由動(dòng)量守恒定律得

2mv2=kmv

解得 k=4

綜上所述，當(dāng)2≤k＜4時(shí)，AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相同．

當(dāng)k=4時(shí)，AB整體的速度為0．

當(dāng)4＜k≤6時(shí)，AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相反．

答：當(dāng)2≤k＜4時(shí)，AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相同．當(dāng)k=4時(shí)，AB整體的速度為0．當(dāng)4＜k≤6時(shí)，AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相反．

【解析】（1）滑塊在最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力。滑塊下滑過(guò)程中滿足機(jī)械能守恒，求出高度的最小值。碰撞過(guò)程中滿足動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒和動(dòng)能定理，列式求解。
（2）碰撞過(guò)程中有動(dòng)能向其他形式能轉(zhuǎn)化，是非彈性碰撞。根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，聯(lián)合列式求解。