Question

15．“探路者”號(hào)宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發(fā)現(xiàn)A、B兩顆均勻球形天體，兩天體各有一顆靠近其表面飛行的衛(wèi)星，測(cè)得兩顆衛(wèi)星的周期相等，以下判斷正確的是（　�。�

• A． 天體A、B的質(zhì)量一定不相等
• B． 兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等
• C． 天體A、B表面的重力加速度之比等于它們的半徑之比
• D． 天體A、B的密度一定相等

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞球形天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得出天體的質(zhì)量與衛(wèi)星周期的關(guān)系式，再得出天體密度與周期的關(guān)系式，然后進(jìn)行比較．

解答 解：A、設(shè)A、B中任決意球形天體的半徑為R，質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，周期為T．則由題意，衛(wèi)星靠近天體表面飛行，衛(wèi)星的軌道半徑約等于天體的半徑，則有
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，得M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，T相等，R不一定相等，所以天體A、B的質(zhì)量不一定相等．故A錯(cuò)誤．
B、衛(wèi)星的線速度為v=$\frac{2πR}{T}$，T相等，而R不一定相等，線速度不一定相等．故B錯(cuò)誤．
C、天體A、B表面的重力加速度等于衛(wèi)星的向心加速度，即g=a=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，T相同，可見天體A、B表面的重力加速度之比等于它們的半徑正比．故C正確．
D、天體的密度為ρ=$\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，因?yàn)橹芷谙嗤�，則天體A、B的密度相等，故D正確．
故選：CD．

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的問題，要建立好物理模型，采用比例法求解．要熟練應(yīng)用萬(wàn)有引力定律、圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合處理這類問題．