Question

20．如圖所示，將一均勻?qū)Ь�圍成一圓心角為90°的扇形導(dǎo)線框OMN，其中OM=R，線框總電阻為r，圓弧MN的圓心為O點(diǎn)，將導(dǎo)線框的O點(diǎn)置于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，其中第二和第四象限存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，第三象限存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B．從t=0時(shí)刻開始，讓導(dǎo)線框以O(shè)點(diǎn)為圓心，以恒定的角速度ω沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則線框中的電流有效值為（　�。�

• A． $\frac{Bω{R}^{2}}{2r}$
• B． $\frac{3Bω{R}^{2}}{2r}$
• C． $\frac{2Bω{R}^{2}}{r}$
• D． $\frac{\sqrt{5}Bω{R}^{2}}{2r}$

Answer 1

分析 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式求出每條半徑切割磁感線時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，分段由閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流，畫出電流隨時(shí)間變化關(guān)系圖象，根據(jù)有效值的定義求解．

解答 解：設(shè)電流逆時(shí)針方向?yàn)檎�方向�?br />在0-t時(shí)間內(nèi)，線框從圖示位置開始（t=0）轉(zhuǎn)過90°的過程中，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E₁=$\frac{1}{2}$Bω•R²；由閉合電路歐姆定律得，回路電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{r}$=$\frac{Bω{R}^{2}}{2r}$．根據(jù)楞次定律判斷可知，線框中感應(yīng)電流方向沿逆時(shí)針．
在t-2t時(shí)間內(nèi)，線框進(jìn)入第3象限的過程中，回路電流方向?yàn)轫槙r(shí)針．回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E₂=$\frac{1}{2}$Bω•R²⁺$\frac{1}{2}$×2Bω•R²=$\frac{3}{2}$Bω•R²=3E₁；感應(yīng)電流為：I₂=3I₁=$\frac{3Bω{R}^{2}}{2r}$；
在2t-3t時(shí)間內(nèi)，線框進(jìn)入第3象限的過程中，回路電流方向?yàn)轫槙r(shí)針．回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E₃=$\frac{1}{2}$Bω•R²⁺$\frac{1}{2}$×2Bω•R²=$\frac{3}{2}$Bω•R²=3E₁；感應(yīng)電流為：I₃=3I₁=$\frac{3Bω{R}^{2}}{2r}$；
在3t-4t時(shí)間內(nèi)，線框出第4象限的過程中，回路電流方向?yàn)轫槙r(shí)針．回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E₄=$\frac{1}{2}$Bω•R²；由閉合電路歐姆定律得，回路電流為：I₄=$\frac{{E}_{1}}{r}$=$\frac{Bω{R}^{2}}{2r}$．根據(jù)楞次定律判斷可知，線框中感應(yīng)電流方向沿順時(shí)針；由此得到電流強(qiáng)度隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖所示．

根據(jù)有效值的定義可得：I²r•4t=I${\;}_{1}^{2}$rt+I${\;}_{2}^{2}$rt+I${\;}_{3}^{2}$rt+I${\;}_{4}^{2}$rt，解得電流有效值I=$\frac{\sqrt{5}Bω{R}^{2}}{2r}$，所以ABC錯(cuò)誤、D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了法拉第電磁感應(yīng)定律和有效值的計(jì)算；對(duì)于導(dǎo)體切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)情況有兩種：一是導(dǎo)體平動(dòng)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，可以根據(jù)E=BLv來計(jì)算；二是導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，可以根據(jù)E=$\frac{1}{2}B{r}^{2}ω$來計(jì)算．