Question

13．如圖所示，光滑的定滑輪上繞有輕質(zhì)柔軟細線，線的一端系一質(zhì)量為2m的重物，另一端系一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬桿．在傾斜平面內(nèi)有間距為L的足夠長的平行金屬導軌PQ、EF，導軌平面與水平面夾角θ=30°，在QF之間連接有阻值也為R的電阻，其余電阻不計，磁感應強度為B₀的勻強磁場與導軌平面垂直，開始時金屬桿置于導軌下端QF處，將重物由靜止釋放，當重物下降h時恰好達到穩(wěn)定速度而勻速下降．運動過程中金屬桿始終與導軌垂直且接觸良好，不計一切摩擦和接觸電阻，重力加速度為g．求：
（1）重物勻速下降的速度v；
（2）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）將重物下降h時的時刻記作t=0，速度計為v₀，若從t=0開始磁感應強度逐漸減少，且金屬桿中始終不產(chǎn)生感應電流，試寫出磁感應強度的大小B隨時間t變化的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）重物勻速運動時，拉力等于重物的重力，對導體棒分析，根據(jù)平衡，結(jié)合安培力、切割產(chǎn)生的感應電動勢公式和歐姆定律求出重物勻速下降的速度．
（2）根據(jù)能量守恒求出整個回路產(chǎn)生的熱量，從而得出電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（3）抓住磁通量不變，結(jié)合磁通量公式求出磁感應強度大小B隨時間的變化關(guān)系．

解答 解：（1）當重物勻速下降時，繩子的拉力為：T=2mg，
對導體棒，有：$T=mgsin30°+\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}v}{R+R}$，
解得：v=$\frac{3mgR}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
（2）根據(jù)能量守恒得：
$2mgh-mghsin30°=Q+\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$，
解得整個回路產(chǎn)生的熱量為：
Q=$\frac{3}{2}mgh-\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$，
則電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱為：
${Q}_{R}=\frac{1}{2}Q$=$\frac{3}{4}mgh-\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．
（3）若不產(chǎn)生感應電流，則穿過回路的磁通量不變，導體棒不受安培力，
此時導體棒上滑的加速度為：
a=$\frac{2mg-mgsin30°}{3m}=\frac{1}{2}g$，
t=0時刻穿過回路磁通量為：Φ₀=B₀hL
t時刻穿過回路的磁通量為：Φ=BL（x+h），
x=${v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
根據(jù)Φ=Φ₀得：
B=$\frac{{B}_{0}h}{{v}_{0}t+\frac{1}{4}g{t}^{2}+h}$．
答：（1）重物勻速下降的速度為$\frac{3mgR}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
（2）電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{3}{4}mgh-\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．
（3）磁感應強度的大小B隨時間t變化的關(guān)系為B=$\frac{{B}_{0}h}{{v}_{0}t+\frac{1}{4}g{t}^{2}+h}$．

點評 本題分別從力和能量兩個角度研究電磁感應現(xiàn)象，關(guān)鍵是計算安培力和分析能量如何變化，以及把握沒有感應電流產(chǎn)生的條件．