Question

6．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的坐標(biāo)系xOy，在其第三象限空間有正交的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，勻強(qiáng)磁場沿水平方向且垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，勻強(qiáng)電場沿x軸負(fù)方向、場強(qiáng)大小為E．在其第一象限空間有沿y軸負(fù)方向的、場強(qiáng)大小為E′=$\frac{4}{3}$E的勻強(qiáng)電場．一個電荷量的絕對值為q的油滴從圖中第三象限的P點(diǎn)獲得一初速度，恰能沿PO作直線運(yùn)動（PO與x軸負(fù)方向的夾角為θ=37°），并從原點(diǎn)O 進(jìn)入第一象限．已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)空氣阻力．問：
（1）油滴的電性及在P點(diǎn)獲得的初速度大��；
（2）在第一象限的某個長方形區(qū)域再加上一個垂直于紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B 的勻強(qiáng)磁場，且該長方形區(qū)域的下邊界在x軸上，上述油滴進(jìn)入第一象限后恰好垂直穿過x軸離開第一象限，求油滴在第一象限內(nèi)運(yùn)動的時間；
（3）上述所加長方形磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）油滴在復(fù)合場中做直線運(yùn)動，垂直速度方向的合力一定為零，受力分析即可判斷；
（2）利用洛倫茲力提供向心力求出粒子半徑，結(jié)合幾何關(guān)系，分別求出油滴在第一象限做勻速直線運(yùn)動的時間，再利用粒子轉(zhuǎn)過的圓心角求出做勻速圓周運(yùn)動的時間，加和即可；
（3）畫出磁場區(qū)域，利用幾何關(guān)系求出其最小面積．

解答 解：（1）假設(shè)油滴帶正電，受力分析如圖所示．

因?yàn)橐�保證垂直速度方向合力為零，油滴一定做減速運(yùn)動，這時洛侖茲力在變化，
導(dǎo)致垂直速度方向的力發(fā)生變化，油滴不可能做直線運(yùn)動，故假設(shè)不成立；
所以油滴一定帶負(fù)電，油滴受三個力作用，如圖所示，

從P到O沿直線必為勻速運(yùn)動，設(shè)油滴質(zhì)量為m：
由平衡條件有：qvBsin37°=qE，mgtan37°=qE
可得：粒子質(zhì)量m=$\frac{4qE}{3g}$，粒子速度v=$\frac{5E}{3B}$ 
（2）油滴進(jìn)入第一象限：
電場力大�。篎′=qE′=$\frac{4}{3}$qE  
重力：G=mg=$\frac{4qE}{3g}$•g=$\frac{4}{3}$qE

分別做勻速直線運(yùn)動和勻速圓周運(yùn)動，
路徑如圖，最后垂直于x軸從N點(diǎn)離開第一象限．
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，可得：r=$\frac{mv}{qB}$
代入m、v的結(jié)果可得：r=$\frac{20{E}^{2}}{9g{B}^{2}}$
油滴在第一象限先做勻速直線運(yùn)動，后做勻速圓周運(yùn)動
根據(jù)幾何關(guān)系有：
直線運(yùn)動路程S₁=$\frac{r}{tanθ}$ 
圓周運(yùn)動路程S₂=$\frac{127}{360}$•2πr
在第一象限運(yùn)動時間：t=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{v}$=$\frac{（240+127π）E}{135gB}$
（3）根據(jù)結(jié)合關(guān)系可知：
長方形磁場區(qū)域的高的最小值：h=r     
長方形磁場區(qū)域的寬的最小值：l=r（1+sinθ）
故長方形磁場區(qū)域的最小面積：S_min=r•r（1+sinθ） 
解得：S_min=$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$
答：（1）油滴帶負(fù)電，在P點(diǎn)獲得的初速度大小為$\frac{5E}{3B}$；
（2）油滴在第一象限內(nèi)運(yùn)動的時間為$\frac{（240+127π）E}{135gB}$；
（3）上述所加長方形磁場區(qū)域的最小面積為$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動，第（1）問要對油滴進(jìn)行受力分析，并且明確洛倫茲力受速度影響；第（2）問要分好過程，明確每個過程的運(yùn)動形式，再選擇合適的規(guī)律解決，對數(shù)學(xué)幾何能力有一定的要求．