Question

10．如圖所示，圓心在O點，半徑為R的圓弧軌道abc豎直固定在水平桌面上，Oc與Oa的夾角為60°，軌道最低點a與桌面相切．一不可伸長的輕繩兩端系著質量分別為m和4m的小球A和B（均可視為質點），掛在圓弧軌道邊緣c的兩邊，開始時，B位于c點，從靜止釋放，繩子始終要繞過軌道邊緣c點，B球下滑，A球上升，設輕繩足夠長，不計一切摩擦，求在B球由c下滑到a的過程中：
（1）B球減小的重力勢能；
（2）小球A增加的機械能．

Answer 1

分析 （1）在B球由c下滑到a的過程中，由幾何關系求出其下降的高度，再求解B球減小的重力勢能；
（2）根據兩球組成的系統(tǒng)機械能守恒和兩球的速度關系列式，求解小球B經過a點時A的速度大小，再求得小球A增加的機械能．

解答 解：（1）在B球由c下滑到a的過程中，下降的高度 h=R（1-cos60°）$\frac{1}{2}$R，則B球減小的重力勢能△E_p=4mgh=2mgR
（2）設小球B經過a點時的速度大小為v₁，此時A球的速度大小為v₂．則有：
v₂=v₁cos30°
由系統(tǒng)的機械能守恒得：
  4mgR（1-cos60°）=mgR+$\frac{1}{2}•4m{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得 v₂=$\sqrt{\frac{6}{19}gR}$
所以小球A增加的機械能為△E_A=mgR++$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{21}{19}$mgR
答：
（1）B球減小的重力勢能是2mgR；
（2）小球A增加的機械能是$\frac{21}{19}$mgR．

點評 本題解題的關鍵是對兩個小球運動情況的分析，知道兩球沿繩子方向的分速度大小相等．要注意本題中系統(tǒng)的機械能守恒，但兩個小球各自的機械能均不守恒．