Question

20．如圖所示，在傾角為37°的斜面上，一勁度系數(shù)k=100N/m的輕彈簧一端固定在A點，自然狀態(tài)時另一端位于B點．斜面上方有一半徑R=0.2m、圓心角等于143°的豎直圓弧形光滑軌道與斜面相切于C處，圓弧軌道的最高點為D．斜面AB段光滑，BC段粗糙且長度為0.4m．現(xiàn)將一質(zhì)量為1kg的小物塊從C點由靜止釋放，小物塊將彈簧壓縮了0.2m后速度減為零（不計小物塊到達(dá)B處與彈簧碰撞時的能量損失）．已知彈簧彈性勢能表達(dá)式E_k=$\frac{1}{2}$kx²，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量，重力加速度取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．（計算結(jié)果可保留根號）求：
（1）小物塊與斜面BC段間的動摩擦因數(shù)μ
（2）小物塊第一次返回BC面上時，沖到的最遠(yuǎn)位置
（3）若用小物塊將彈簧壓縮，然后釋放，要使小物塊在CD段圓弧軌道上運(yùn)動且不脫離圓弧軌道，則壓縮時壓縮量應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）對物體從B到C的過程分析，由動能定理列式可求得物體與斜面間的動摩擦因數(shù)；
（2）設(shè)小物塊最遠(yuǎn)將沖到E點，則由動能定理得BE長度；
（3）若用小物塊將彈簧壓縮，然后釋放，要使小物塊在CD段圓弧軌道上運(yùn)動且不脫離圓弧軌道，分兩類情況，一種是不超過與O水平的點F點，一種為能到達(dá)最高點D，然后根據(jù)動能定理和牛頓運(yùn)動定律解答．

解答 解：（1）由動能定理得：$mg（BC+x）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BC-\frac{1}{2}k{x^2}=0$
解得：μ=0.5 
（2）設(shè)小物塊最遠(yuǎn)將沖到E點，則由動能定理得：$\frac{1}{2}k{x^2}-mg（x+BE）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BE=0$
解得：BE=0.08m，即最遠(yuǎn)沖到距B點為0.08m的E位置．
（3）要使小物塊不脫離圓弧軌道，則小物塊應(yīng)到達(dá)圖中F點時速度減為零則有：
$\frac{1}{2}k{x^2}-mg（x+BC）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BC$＞0 
$\frac{1}{2}k{x^2}-mg（x+BC）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BC-mgRcos{37^0}$≤0 
解得：$\frac{{6+\sqrt{836}}}{100}$＜x≤$\frac{{6+\sqrt{1156}}}{100}$即：0.349m＜x≤0.4m 
若恰過最高點D，則有：$\frac{1}{2}k{x^2}-mg（x+BC）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BC-mg（R+Rcos{37^0}）$≥$\frac{1}{2}mgR$
解得：x≥$\frac{{6+\sqrt{1756}}}{100}$即：x≥0.479m 
答：：（1）小物塊與斜面BC段間的動摩擦因數(shù)μ=0.5；
（2）小物塊第一次返回BC面上時，沖到最遠(yuǎn)點E，求BE長為0.08m；
（3）若用小物塊將彈簧壓縮，然后釋放，要使小物塊在CD段圓弧軌道上運(yùn)動且不脫離圓弧軌道，則壓縮時壓縮量應(yīng)滿足的條件0.349m＜x≤0.4m或x≥0.479m．

點評 本題考查動能定理、牛頓第二定律及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動，解題的關(guān)鍵在于明確能達(dá)到E點的含義及小物塊在CD段圓弧軌道上運(yùn)動且不脫離圓弧軌道的含義，并能正確列出動能定理及理解題目中公式的含義．