Question

3．如圖所示，一個(gè)人用一根只能承受46N拉力的繩子，拴著一個(gè)質(zhì)量為1kg的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知圓心O離地面h=10m，轉(zhuǎn)動(dòng)中小球在最低點(diǎn)時(shí)繩子恰好斷了（g取10m/s²）求：
（1）繩斷后，繩子多長時(shí)小球拋出的射程最大？
（2）最大射程是多少．

Answer 1

分析 繩子斷時(shí)，繩子的拉力恰好是46N，對(duì)小球受力分析，根據(jù)牛頓第二定律和向心力的公式可以求得速度與繩長的關(guān)系式，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求最大射程．

解答 解：設(shè)繩長為R．對(duì)小球受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：v=$\sqrt{\frac{（F-mg）R}{m}}$
繩斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，落地時(shí)射程最大，設(shè)所用時(shí)間為t．則有：
h-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2（h-R）}{g}}$
射程為：x=vt=$\sqrt{\frac{（F-mg）R}{m}}$•$\sqrt{\frac{2（h-R）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2（F-mg）R（h-R）}{m}}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得知，當(dāng)R=h-R，即R=$\frac{1}{2}$h=5m，射程x最大，則最大射程為：
x_max=$\sqrt{\frac{2（F-mg）R（h-R）}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×（46-10）×5×5}{1}}$m=30$\sqrt{2}$m
答：（1）繩斷后，繩子5m長時(shí)小球拋出的射程最大．
（2）最大射程是30$\sqrt{2}$m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要抓住繩斷的臨界條件，利用圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到射程的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解極大值．