Question

14．如圖所示，MN、PQ是相互交叉成60°角的光滑金屬導(dǎo)軌，O是它們的交點(diǎn)且接觸良好．兩導(dǎo)軌處在同一水平面內(nèi)，并置于有理想邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中（圖中過(guò)O點(diǎn)的虛線為磁場(chǎng)的左邊界，與∠MOQ的平分線垂直）．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=$\sqrt{5}$T，方向與導(dǎo)軌平面垂直．質(zhì)量m=0.1kg的導(dǎo)體棒ab與輕質(zhì)絕緣彈簧（其軸線沿∠MOQ的平分線）右端栓接，平行磁場(chǎng)邊界跨接在導(dǎo)軌上．t=0時(shí)刻，將棒ab運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)x₀=0.6m處由靜止釋放，剛釋放時(shí)棒的加速度a=60m/s²．已知棒ab運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒單位長(zhǎng)度的電阻均為r=1Ω/m．彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，求：
（1）彈簧勁度系數(shù)k；
（2）導(dǎo)體棒ab在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大�。�
（3）導(dǎo)體棒ab從第一次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)開(kāi)始直到它靜止的過(guò)程中，導(dǎo)體棒ab中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）剛釋放時(shí)，導(dǎo)體棒速度為零，沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，故不受安培力，受重力、支持力和彈簧拉力，合力等于彈簧的拉力，根據(jù)胡克定律和牛頓第二定律列式求解勁度系數(shù)；
（2）彈簧的彈力等于ab棒受到的安培力時(shí)加速度為零，此后向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程是勻速運(yùn)動(dòng)；
（3）導(dǎo)體棒往復(fù)運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中向右運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)減速，最終只能靜止于O點(diǎn)，結(jié)合功能關(guān)系列式分析．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒ab剛釋放時(shí)感應(yīng)電流為零，故：kx₀=ma，
解得：k=$\frac{ma}{{x}_{0}}=\frac{0.6×60}{0.6}$=60N/m；
（2）棒ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)ab棒在導(dǎo)軌之間的長(zhǎng)度為l，此時(shí)導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的有效電動(dòng)勢(shì)：E=Blv，
因?qū)к壗徊娉?0°，故此時(shí)回路的總電阻為R=3lr，
由閉合電路歐姆定律得：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{Bv}{3r}$，
設(shè)O點(diǎn)到ab棒距離為x，根據(jù)幾何關(guān)系有：l=2xtan30°=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x，
因ab棒做勻速運(yùn)動(dòng)，所以有：kx=BIl，
聯(lián)立以上各式解得：v=18$\sqrt{3}$m/s；
（3）導(dǎo)體棒做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中向右運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)減速，最終只能靜止于O點(diǎn)，故其動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱，根據(jù)能量守恒得：
Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.6×{（18\sqrt{3}）}^{2}$=291.6J，
因?qū)�體棒的電阻始終是回路總電阻的$\frac{1}{3}$，故導(dǎo)體棒ab中產(chǎn)生的熱量為：
Q_ab=$\frac{1}{3}$Q=97.2J；
答：（1）彈簧勁度系數(shù)k為60N/m；
（2）導(dǎo)體棒ab在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為18$\sqrt{3}$m/s；
（3）導(dǎo)體棒ab從第一次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)開(kāi)始直到它靜止的過(guò)程中，導(dǎo)體棒ab中產(chǎn)生的熱量為97.2J．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路知識(shí)的綜合，要正確分析導(dǎo)體棒的受力情況，來(lái)判斷其運(yùn)動(dòng)情況，在計(jì)算電流時(shí)要注意使用接入電路的有效電動(dòng)勢(shì)，該處為易錯(cuò)點(diǎn)．