Question

如圖所示，O₁為一根長(zhǎng)L=0.4m的繩子系一個(gè)質(zhì)量m=2kg的小球在豎直平面內(nèi)順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，M為最高點(diǎn)，P為最低點(diǎn)，O₂為一個(gè)繞其逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓環(huán)的圓心，最高點(diǎn)為Q，圓環(huán)邊緣上有兩點(diǎn)A、B，弧AB所對(duì)的圓心角為30°，PQ=3.2m且與兩個(gè)圓相切，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，繩子突然斷開(kāi)，此時(shí)圓環(huán)上的A點(diǎn)也轉(zhuǎn)到了Q點(diǎn)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小球恰好落在了Q點(diǎn)，而此時(shí)30°圓心角所對(duì)弧AB上的某點(diǎn)（不包含A、B兩點(diǎn)）也轉(zhuǎn)到了Q點(diǎn)，期間圓環(huán)至少轉(zhuǎn)了一圈，（忽略空氣阻力，取g=10m/s²）求：
（1）繩子斷開(kāi)時(shí)，小球的速度大小是多少？
（2）小球經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)，繩子斷開(kāi)前一瞬間，繩子上的拉力大小是多少？
（3）圓環(huán)逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）由題意知繩子斷開(kāi)后小球從M點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解；
（2）根據(jù)向心力公式列式即可求解；
（3）如果在t的時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)轉(zhuǎn)了n圈后A和Q點(diǎn)重合，則有：nT_A=t，如果在t時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)轉(zhuǎn)了n+

1

12

圈后B與Q點(diǎn)重合，則有：(n+

1

12

)TB=t，得出周期，求出角速度，注意周期性．

解答：解：（1）由題意知繩子斷開(kāi)后小球從M點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，從M到Q平拋的時(shí)間為：
t=

2h g

=

2×0.8 10

=0.4s       
則：PQ=3.2m=v₀t=v₀×0.4s
得：v₀=

3.2

0.4

=8m/s           
（2）繩子斷開(kāi)瞬間在M點(diǎn)的瞬時(shí)線速度為：v₀=8m/s，
小球在M點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力Fn=F+mg=m

v02

L

得：F=2×

64

0.4

-20=300N              
（3）如果在t=0.4s的時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)轉(zhuǎn)了n圈后A和Q點(diǎn)重合，則有：
nT_A=0.4S   （n=1，2，3，…）    
得周期：TA=

2

5n

（n=1，2，3，…）
則角速度ωA=

2π

TA

=5nπ（n=1，2，3，…）   
如果在t=0.4s的時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)轉(zhuǎn)了n+

1

12

圈后B與Q點(diǎn)重合，則有：
(n+

1

12

)TB=0.4s（n=1，2，3，…）    
得周期：TB=

24

60n+5

s（n=1，2，3，…）
則角速度ωB=5nπ+

5

12

π（n=1，2，3，…）      
則角度度應(yīng)該滿足的條件是：5nπ＜ω＜5nπ+

5

12

π（n=1，2，3，…）      
答：（1）繩子斷開(kāi)時(shí)，小球的速度大小是8m/s；
（2）小球經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)，繩子斷開(kāi)前一瞬間，繩子上的拉力大小是300N；
（3）圓環(huán)逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)該滿足5nπ＜ω＜5nπ+

5

12

π（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式及平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，難度適中．