Question

20．質(zhì)量為m，電量為q的正離子以速度v₀從A點對著圓心進入一半徑為R的金屬圓筒中，如圖所示，求B滿足什么條件時該粒子與圓筒發(fā)生彈性碰撞后仍然從A點射出？（假設(shè)碰撞時電荷無遷移，且重力不計）

Answer 1

分析 根據(jù)題意明確粒子可能的運動情況，根據(jù)半徑的通項式明確半徑的可能值；再由洛侖茲力充當向心力可求得B的條件．

解答 解：由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量損失和電量損失，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運動的軌跡是對稱的，如圖所示．設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞n次（n≥2），則經(jīng)過n+1次圓弧后才能轉(zhuǎn)回到A點，設(shè)每相鄰兩次碰撞點之間圓弧所對的圓心角為2α=$\frac{2π}{n+1}$（這里是指磁場圓弧所對圓心角，而不是指軌跡圓弧所對圓心角）．
所對應的弦長為l=2Rsinα；
因軌跡圓的圓心角與所對應的磁場圓的圓心角與補，則可知：
2θ+2α=π；
θ=$\frac{π}{2}-α$=$\frac{（n-1）π}{2（n+1）}$；
則離子運動的半徑為：
r=$\frac{\frac{l}{2}}{sinθ}$=$\frac{Rsinα}{cosα}$=Rtan（$\frac{（n-1）π}{2（n+1）}$）（n=2，3，…）
則由洛侖茲力充當向心力可得：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$可得：
B=$\frac{mv}{qRtan（\frac{（n-1）π}{2（n+1）}）}$（n=2，3，…）
答：要使粒子能經(jīng)碰撞后從A點飛出，B應滿足$\frac{mv}{qRtan（\frac{（n-1）π}{2（n+1）}）}$（n=2，3，…）．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，要注意正確分析可能的物理規(guī)律，利用幾何關(guān)系求得半徑的表達式，再由洛侖茲力充當向心力可求得B．