Question

9．如圖所示，半徑R=1m的光滑半圓軌道AC與高h=8R的粗糙斜面軌道BD放在同一豎直平面內，BD部分水平長度為x=6R．兩軌道之間由一條光滑水平軌道相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡．在水平軌道上，輕質彈簧被a、b兩小球擠壓（不連接），處于靜止狀態(tài)．同時釋放兩個小球，a球恰好能通過半圓軌道最高點A，b球恰好能到達斜面軌道最高點B．已知a球質量為m₁=2kg，b球質量為m₂=1kg，重力力加速度為g=10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）a球經過C點時對軌道的作用力
（2）釋放小球前彈簧的彈性勢能Ep
（3）小球與斜面間動摩擦因素μ

Answer 1

分析 （1）小球a恰好能通過最高點，由重力充當向心力，由向心力公式可得出小球a在A點的速度，由機械能守恒可得出a球經過C點的速度．在C點，根據合力提供向心力，求軌道對a球的支持力，從而得到a球對軌道的壓力．
（2）對b球，根據動量守恒定律求出b球離開彈簧時的速度大小v_b；釋放彈簧的過程，對系統，由機械能守恒可得出彈簧的彈性勢能．
（3）b球從D點恰好到達最高點B過程中，由動能定理列式，可求得小球與斜面間動摩擦因數．

解答 解：（1）以a球為研究對象，恰好通過最高點時，有 m₁g=m₁$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
得  v_A=$\sqrt{Rg}$=$\sqrt{1×10}$m/s=$\sqrt{10}$m/s
a球從C到A的過程，由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₁v_C²-$\frac{1}{2}$m₁v_A²=m₁g•2R
C點時受力分析，由牛頓第二定律得：F_C-m₁g=m₁$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F_C=6m₁g=120N
由牛頓第三定律知，a球經過C點時對軌道的作用力大小為120N，方向豎直向下．
（2）水平面光滑，彈簧釋放兩球的過程，a、b及彈簧組成的系統動量守恒，取水平向左為正方向，由動量守恒定律得：
      m₁v_c-m₂v_D=0
解得：v_D=10$\sqrt{2}$m/s
釋放小球前彈簧的彈性勢能為 E_p=$\frac{1}{2}$m₁v_C²+$\frac{1}{2}$m₂v_D²=150J
（3）b球從D點恰好到達最高點B過程中，由動能定理：
    0-$\frac{1}{2}$m₂v_D²=-m₂g•8R-μm₂gcosθL_BD
其中 L_BD=10R
 解得：μ=$\frac{1}{3}$
答：
（1）a球經過C點時對軌道的作用力為120N；
（2）釋放小球前彈簧的彈性勢能Ep為150J；
（3）小球與斜面間動摩擦因素μ為$\frac{1}{3}$．

點評 解決本題的關鍵：一要明確小球到達圓軌道最高點的臨界條件：重力充當向心力．二要明確有摩擦時往往運用動能定理求解速度．