Question

11．如圖所示，一個(gè)半徑為r的半圓形線圈，以直徑ab為軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為n，ab的左側(cè)有垂直于紙面向里（與ab垂直）的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，M和N是兩個(gè)集流環(huán)，負(fù)載電阻為R，線圈、電流表和連接導(dǎo)線的電阻不計(jì)，求：
（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值；
（2）從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)的時(shí)間內(nèi)負(fù)載電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（3）從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)的時(shí)間內(nèi)通過負(fù)載電阻R的電荷量；
（4）電流表的示數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，從而畫出圖象；
（2）根據(jù)△∅=B•△S求出從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$圈的時(shí)間內(nèi)，穿過線框平面的磁通量的變化量，再根據(jù)q=平均電流×?xí)r間．
（3）電流表的示數(shù)由歐姆定律求得．

解答 解：（1）線圈繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在電路中產(chǎn)生如圖所示的交變電流．
此交變電動(dòng)勢(shì)的最大值為E_m=BSω=B•$\frac{{π{r^2}}}{2}$•2πn=π²Bnr²
（2）在轉(zhuǎn)動(dòng)$\frac{1}{4}$周期內(nèi)導(dǎo)體一直切割磁感線，則產(chǎn)生的熱量Q=$\frac{（\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}）^{2}}{R}×\frac{T}{4}$=$\frac{{π}^{4}{B}^{2}n{r}^{4}}{8R}$
（3）在線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)的時(shí)間內(nèi)，電動(dòng)勢(shì)的平均值為$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$．
通過R的電荷量q=$\overline{I}$•△t=$\frac{\overline{E}}{R}$•△t=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{{πB{r^2}}}{2R}$
（4）設(shè)此交變電動(dòng)勢(shì)在一個(gè)周期內(nèi)的有效值為E′，由有效值的定義得$\frac{{{{（\frac{E_m}{{\sqrt{2}}}）}^2}}}{R}•\frac{T}{2}=\frac{{{E^{'2}}}}{R}T$解得${E^'}=\frac{E_m}{2}$．
故電流表的示數(shù)為$I=\frac{E^'}{R}=\frac{{{π^2}{r^2}nB}}{2R}$
答：（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值π²Bnr²
（2）從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)的時(shí)間內(nèi)通過負(fù)載電阻R的熱量為$\frac{{π}^{4}{B}^{2}n{r}^{4}}{8R}$；
（3）從圖示位置起轉(zhuǎn)過$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)的時(shí)間內(nèi)通過負(fù)載電阻R的電荷量$\frac{{πB{r^2}}}{2R}$
（4）電流表的示數(shù)=$\frac{{π}^{2}{r}^{2}nB}{2R}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了法拉第電磁感應(yīng)定律與閉合電路的歐姆定律的應(yīng)用，掌握有效值與最大值的關(guān)系，求電量時(shí)要用平均電動(dòng)勢(shì)．