Question

2．如圖，ABC為固定在豎直平面內(nèi)的軌道，AB為光滑的四分之一圓弧，與粗糙水平面BC相切．將質(zhì)量m=0.5kg的滑塊從A點靜止釋放，滑塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.1，滑塊從B點滑行L=18m后到達C點時速度v₁=8m/s．現(xiàn)將BC間的一段MN用鐵刷劃擦，使該段的動摩擦因數(shù)變?yōu)棣?SUB>2=0.5，再使滑塊從A點靜止釋放，到達C點的速度為v₂=4$\sqrt{2}$m/s，g取10m/s²．
（1）求圓弧的半徑R；
（2）求MN段的長度x；
（3）若BC間用鐵刷劃擦的MN段的長度不變，鐵刷劃擦的MN段的位置可設(shè)定，求滑塊從B運動到C的最短時間是多少．

Answer 1

分析 （1）滑塊第一次從B到C，由動能定理可求得滑塊經(jīng)過B點的速度．對滑塊由A到B，由動能定理列式，可求得圓弧的半徑R．
（2）滑塊第二次從B到C，由動能定理列式，可求得MN段的長度x．
（3）作出v-t圖象如圖，分析知道當N點與C點重合時，滑塊的運動時間最短．由運動學速度位移公式研究MN段，得到此過程滑塊到M點的速度．再速度時間公式求滑行的最短時間．

解答 解：（1）滑塊第一次從B到C，由動能定理得：
-μ₁mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得滑塊經(jīng)過B點時的速度為：v_B=10m/s
滑塊由A到B，由機械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：R=5m
（2）滑塊從第二次從B到C，由動能定理得：
-μ₁mg（L-x）-μ₂mgx=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：x=4m 
（3）由第（2）問可知，無論MN在AB中的具體位置如何變化，滑塊到C點的速度都不變，作出v-t圖象如圖，可知當N點與C點重合時，滑塊的運動時間最短．
設(shè)滑塊在BM段和MN段的加速度分別為a₁和a₂，由牛頓第二定律得，f=ma，代入數(shù)據(jù)，解得：a₁=1m/s²，
同理得：a₂=5m/s²
由運動學公式有：${v}_{2}^{2}-{v}_{M}^{2}$=-2a₂x   
代入數(shù)據(jù)得：v_M=6$\sqrt{2}$m/s
所以，滑塊從B運動到C的最短時間是：t_min=$\frac{{v}_{B}-{v}_{M}}{{a}_{1}}$+$\frac{{v}_{M}-{v}_{2}}{{a}_{2}}$
解得：t_min=2.1s
答：（1）圓弧的半徑R是5m；
（2）MN段的長度x是4m；
（3）滑塊從B運動到C的最短時間是2.1s．

點評 本題涉及力在空間的效應(yīng)，運用動能定理是常用的思路，要反復(fù)運用動能定理列式解答，列式時要抓住各個過程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系．