Question

2．如圖所示，光滑直角細(xì)桿POQ固定在豎直平面內(nèi)，OP邊水平，OP與OQ在O點(diǎn)平滑相連，質(zhì)量均為m的A、B兩小環(huán)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩相連，分別套在OP和OQ桿上．初始時(shí)刻，將輕繩拉至水平位置拉直（即B環(huán)位于O點(diǎn)），然后同時(shí)釋放兩小環(huán)，A環(huán)到達(dá)O點(diǎn)后，速度大小不變，方向變?yōu)樨Q直向下，已知重力加速度為g．下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 當(dāng)B環(huán)下落$\frac{L}{2}$時(shí)，A環(huán)的速度大小為$\frac{\sqrt{gL}}{2}$
• B． 在A環(huán)到達(dá)O點(diǎn)的過(guò)程中，B環(huán)先加速后減速
• C． A環(huán)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度大小為$\sqrt{gL}$
• D． 當(dāng)A環(huán)到達(dá)O點(diǎn)后，再經(jīng)$\sqrt{\frac{L}{2g}}$的時(shí)間能追上B環(huán)

Answer 1

分析 A與B下降的過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，先由速度的合成與分解求出A、B速度的關(guān)系，然后即可求出A、B在不同點(diǎn)的速度；
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式即可求出A追上B的時(shí)間．

解答 解：B環(huán)下落一段位移后，設(shè)繩子與水平方向之間的夾角為α，則與豎直方向之間的夾角β=90°-α
設(shè)此時(shí)A的速度為v_A，將A的速度沿繩子方向與垂直于繩子的方向分解，設(shè)沿繩子方向的分速度為v，如圖：
則：v=v_Acosα
設(shè)B的速度為vB，將B的速度也沿繩子的方向與垂直于繩子的方向分解如圖，其中沿繩子方向的分速度與A沿繩子方向的分速度是相等的，則：
v=v_Bcosβ
所以：v_B=$\frac{{v}_{A}cosα}{cosβ}$=$\frac{{v}_{A}cosα}{cos（90°-α）}$=$\frac{{v}_{A}}{tanα}$
A、當(dāng)B環(huán)下落$\frac{L}{2}$時(shí)繩子與水平方向之間的夾角：sinα=$\frac{\frac{L}{2}}{L}$=$\frac{1}{2}$，所以：α=30°
則：v_B=$\frac{{v}_{A}}{tan30°}$=$\sqrt{3}$v_A；
B下降的過(guò)程中A與B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，得：
mg•$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
聯(lián)立得A環(huán)的速度大小為：v_A=$\frac{\sqrt{gL}}{2}$．故A正確；
B、B開始下降的過(guò)程中速度由0開始增大，所以是做加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)繩子與豎直方向之間的夾角接近90°時(shí)，tanβ→∞，則：v_B=$\frac{{v}_{A}}{tanα}$→0．可知當(dāng)A到達(dá)O點(diǎn)時(shí)，B的速度等于0．所以B一定還存在減速的過(guò)程．即A環(huán)到達(dá)O點(diǎn)的過(guò)程中，B環(huán)先加速后減速．故B正確；
C、由于A到達(dá)O點(diǎn)時(shí)B的速度等于0，由機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$=mgL
所以：v_A′=$\sqrt{2gL}$．故C錯(cuò)誤；
D、環(huán)A過(guò)O點(diǎn)后做加速度大于g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，B做自由落體運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)A追上B時(shí)：v_A′t+$\frac{1}{2}$gt²=L+$\frac{1}{2}$gt²；
所以：t′=$\sqrt{\frac{L}{2g}}$．故D正確．
故選：ABD．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合機(jī)械能守恒考查運(yùn)動(dòng)的合成與分解，解答的關(guān)鍵是能看到A與B的速度不一定大小相等，但它們沿繩子方向的分速度大小相等．